Question

如圖，△ABC中，點(diǎn)O是邊AC上一個動點(diǎn)，過O作直線MN∥BC，設(shè)MN交∠ACB的平分線于點(diǎn)E，交∠ACB的外角平分線于點(diǎn)F．
（1）探究：線段OE與OF的數(shù)量關(guān)系并加以證明；
（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動到何處時，且△ABC滿足什么條件時，四邊形AECF是正方形？
（3）當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動時，四邊形BCFE

 

是菱形嗎？（填“可能”或“不可能”）

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的判定,菱形的判定

專題：

分析：（1）由直線MN∥BC，MN交∠BCA的平分線于點(diǎn)E，交∠BCA的外角平分線于點(diǎn)F，易證得△OEC與△OFC是等腰三角形，則可證得OE=OF=OC；
（2）正方形的判定問題，AECF若是正方形，則必有對角線OA=OC，所以O(shè)為AC的中點(diǎn)，同樣在△ABC中，當(dāng)∠ACB=90°時，可滿足其為正方形；
（3）菱形的判定問題，若使菱形，則必有四條邊相等，對角線互相垂直．

解答：解：（1）OE=OF．理由如下：
∵CE是∠ACB的角平分線，
∴∠ACE=∠BCE，
又∵M(jìn)N∥BC，
∴∠NEC=∠ECB，
∴∠NEC=∠ACE，
∴OE=OC，
∵OF是∠BCA的外角平分線，
∴∠OCF=∠FCD，
又∵M(jìn)N∥BC，
∴∠OFC=∠ECD，
∴∠OFC=∠COF，
∴OF=OC，
∴OE=OF；

（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動到AC的中點(diǎn)，且△ABC滿足∠ACB為直角的直角三角形時，四邊形AECF是正方形．理由如下：
∵當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動到AC的中點(diǎn)時，AO=CO，
又∵EO=FO，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵FO=CO，
∴AO=CO=EO=FO，
∴AO+CO=EO+FO，即AC=EF，
∴四邊形AECF是矩形．
已知MN∥BC，當(dāng)∠ACB=90°，則
∠AOF=∠COE=∠COF=∠AOE=90°，
∴AC⊥EF，
∴四邊形AECF是正方形；

（3）不可能．理由如下：
如圖，∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ECF=

1

2

∠ACB+

1

2

∠ACD=

1

2

（∠ACB+∠ACD）=90°，
若四邊形BCFE是菱形，則BF⊥EC，
但在△GFC中，不可能存在兩個角為90°，所以不存在其為菱形．
故答案為不可能．

點(diǎn)評：本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的判定，正方形、菱形的判定，難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．