Question

對(duì)于任意兩個(gè)二次函數(shù)：y₁=a₁x²+b₁x+c₁，y₂=a₂x²+b₂x+c₂，（a₁a₂≠0），當(dāng)|a₁|=|a₂|時(shí)，我們稱這兩個(gè)二次函數(shù)的圖象為全等拋物線．
現(xiàn)有△ABM，A（-1，0），B（1，0）．記過(guò)三點(diǎn)的二次函數(shù)拋物線為“C_□□□”（“□□□”中填寫(xiě)相應(yīng)三個(gè)點(diǎn)的字母）
（1）若已知M（0，1），△ABM≌△ABN（0，-1）．請(qǐng)通過(guò)計(jì)算判斷C_ABM與C_ABN是否為全等拋物線；
（2）在圖2中，以A、B、M三點(diǎn)為頂點(diǎn)，畫(huà)出平行四邊形．
①若已知M（0，n），求拋物線C_ABM的解析式，并直接寫(xiě)出所有過(guò)平行四邊形中三個(gè)頂點(diǎn)且能與C_ABM全等的拋物線解析式．
②若已知M（m，n），當(dāng)m，n滿足什么條件時(shí)，存在拋物線C_ABM根據(jù)以上的探究結(jié)果，判斷是否存在過(guò)平行四邊形中三個(gè)頂點(diǎn)且能與C_ABM全等的拋物線？若存在，請(qǐng)列出所有滿足條件的拋物線“C_□□□”；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）應(yīng)該是全等拋物線，由于這兩個(gè)拋物線雖然開(kāi)口方向不同，但是開(kāi)口大小一樣，因此二次項(xiàng)的絕對(duì)值也應(yīng)該相等．可用待定系數(shù)法求出兩拋物線的解析式，然后進(jìn)行判斷即可．
（2）與（1）相同都是通過(guò)構(gòu)建平行四邊形來(lái)得出與△ABM全等的三角形，那么過(guò)與△ABM全等的三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的拋物線都是與C_ABM全等的拋物線．

解答：解：（1）設(shè)拋物線C_ABM的解析式為y=ax²+bx+c，
∵拋物線C_ABM過(guò)點(diǎn)A（-1，0），B（1，0），M（0，1），

0=a-b+c 0=a+b+c 1=c

a=-1 b=0 c=1

∴拋物線C_ABM的解析式為y=-x²+1，
同理可得拋物線C_ABN的解析式為y=x²+1，
∵|-1|=|1|，
∴C_ABM與C_ABN是全等拋物線．

（2）①設(shè)拋物線C_ABM的解析式為y=ax²+bx+c，
∵拋物線C_ABM過(guò)點(diǎn)A（-1，0），B（1，0），M（0，n），

0=a-b+c 0=a+b+c n=c

拋物線C_ABM的解析式為y=-nx²+n，
與C_ABM全等的拋物線有：
y=nx²-n，y=n（x-1）²，y=n（x+1）²
②當(dāng)n≠0且m≠±1時(shí)，存在拋物線C_ABM，與C_ABM全等的拋物線有：C_ABN，C_AME，C_BMF．

點(diǎn)評(píng)：本題是函數(shù)與幾何結(jié)合的綜合題，解題關(guān)鍵是善于利用幾何圖形的性質(zhì)以及函數(shù)的性質(zhì)和定理等知識(shí)，主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．