Question

12．如圖，二次函數(shù)y=-$\frac{1}{{m}^{2}}$x²-$\frac{2x}{m}$+3（其中m是常數(shù)，且m＞0）的圖象與x軸交于A、B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，作CD∥AB，點(diǎn)D在二次函數(shù)的圖象上，連接BD，過(guò)點(diǎn)B作射線BE交二次函數(shù)的圖象于點(diǎn)E，使得AB平分∠DBE．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）求證：$\frac{BD}{BE}$為定值；
（3）二次函數(shù)y=-$\frac{1}{{m}^{2}}$x²-$\frac{2x}{m}$+3的頂點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)C、F作直線與x軸交于點(diǎn)G，試說(shuō)明：以GF、BD、BE的長(zhǎng)度為三邊長(zhǎng)的三角形是什么三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）將x=0代入y=-$\frac{1}{{m}^{2}}$x²-$\frac{2x}{m}$+3，求出y=3即可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）過(guò)點(diǎn)D、E分別作x軸的垂線，垂足為M、N．先求出D點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2m，3），再證明△BDM∽△BEN，得出$\frac{BD}{BE}$=$\frac{BM}{BN}$=$\frac{DM}{EN}$．設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為（x，-$\frac{1}{{m}^{2}}$x²-$\frac{2x}{m}$+3），求出x=-4m，得到E（-4m，-5），進(jìn)而求出$\frac{BD}{BE}$=$\frac{BM}{BN}$=$\frac{3m}{5m}$=$\frac{3}{5}$，即為定值；
（3）先求出二次函數(shù)y=-$\frac{1}{{m}^{2}}$x²-$\frac{2x}{m}$+3的頂點(diǎn)F的坐標(biāo)為（-m，4），過(guò)點(diǎn)F作FH⊥x軸于點(diǎn)H．由tan∠CGO=$\frac{OC}{OG}$，tan∠FGH=$\frac{FH}{GH}$，得出$\frac{OC}{OG}$=$\frac{FH}{GH}$，求出OG=3m．再根據(jù)勾股定理得出GF=$\sqrt{G{H}^{2}+H{F}^{2}}$=$\sqrt{16{m}^{2}+16}$=4$\sqrt{{m}^{2}+1}$，BD=$\sqrt{B{M}^{2}+D{M}^{2}}$=$\sqrt{9{m}^{2}+9}$=3$\sqrt{{m}^{2}+1}$，那么$\frac{GF}{BD}$=$\frac{4}{3}$．又由（2）可知$\frac{BD}{BE}$=$\frac{3}{5}$，那么BD：GF：BE=3：4：5，根據(jù)勾股定理的逆定理得出以GF、BD、BE的長(zhǎng)度為三邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形．

解答 （1）解：∵y=-$\frac{1}{{m}^{2}}$x²-$\frac{2x}{m}$+3，
∴當(dāng)x=0時(shí)，y=3，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3）；

（2）證明：如圖1，過(guò)點(diǎn)D、E分別作x軸的垂線，垂足為M、N．
由-$\frac{1}{{m}^{2}}$x²-$\frac{2x}{m}$+3=0，
解得 x₁=m，x₂=-3m，
則 A（-3m，0），B（m，0）．
∵CD∥AB，
∴D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，
又∵D點(diǎn)在拋物線上，
∴將D點(diǎn)縱坐標(biāo)代入拋物線方程，得D點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2m，3）．
∵AB平分∠DBE，
∴∠DBM=∠EBN，
∵∠DMB=∠ENB=90°，
∴△BDM∽△BEN，
∴$\frac{BD}{BE}$=$\frac{BM}{BN}$=$\frac{DM}{EN}$．
設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為（x，-$\frac{1}{{m}^{2}}$x²-$\frac{2x}{m}$+3），
∴$\frac{3m}{m-x}$=$\frac{3}{\frac{1}{{m}^{2}}{x}^{2}+\frac{2x}{m}-3}$，
∴x=-4m，
∴E（-4m，-5），
∵BM=3m，BN=m-x=5m，
∴$\frac{BD}{BE}$=$\frac{BM}{BN}$=$\frac{3m}{5m}$=$\frac{3}{5}$，即為定值．

（3）解：以GF、BD、BE的長(zhǎng)度為三邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形．理由如下：
如圖2，二次函數(shù)y=-$\frac{1}{{m}^{2}}$x²-$\frac{2x}{m}$+3的頂點(diǎn)為F，則F的坐標(biāo)為（-m，4），過(guò)點(diǎn)F作FH⊥x軸于點(diǎn)H．
∵tan∠CGO=$\frac{OC}{OG}$，tan∠FGH=$\frac{FH}{GH}$，
∴$\frac{OC}{OG}$=$\frac{FH}{GH}$，
∴$\frac{OC}{OG}$=$\frac{FH}{OH+OG}$，
∵OC=3，HF=4，OH=m，
∴$\frac{3}{OG}$=$\frac{4}{m+OG}$，
∴OG=3m．
∵GF=$\sqrt{G{H}^{2}+H{F}^{2}}$=$\sqrt{16{m}^{2}+16}$=4$\sqrt{{m}^{2}+1}$，
BD=$\sqrt{B{M}^{2}+D{M}^{2}}$=$\sqrt{9{m}^{2}+9}$=3$\sqrt{{m}^{2}+1}$，
∴$\frac{GF}{BD}$=$\frac{4}{3}$．
∵$\frac{BD}{BE}$=$\frac{3}{5}$，
∴BD：GF：BE=3：4：5，
∴以GF、BD、BE的長(zhǎng)度為三邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)綜合題，其中涉及到二次函數(shù)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理及其逆定理等知識(shí)，難度適中，正確作出輔助線利用數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．