Question

在△ABC中，已知BA=BC，點(diǎn)P在邊AB上，聯(lián)結(jié)CP，以PA、PC為鄰邊作平行四邊形APCD，AC與PD交于點(diǎn)E，∠ABC=∠AEP=α（0°＜α＜90°）．
（1）如圖（1），求證：∠EAP=∠EPA；
（2）如圖（2），若點(diǎn)F是BC中點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別在PA、FP延長(zhǎng)線上，且∠MEN=∠AEP，判斷EM和EN之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
（3）如圖（3），若DC=1，CP=3，在線段CP上任取一點(diǎn)Q，聯(lián)結(jié)DQ，將△DCQ沿直線DQ翻折，點(diǎn)C落在四邊形APCD外的點(diǎn)C′處，設(shè)CQ=x，△DC′Q與四邊形APCD重合部分的面積為y，寫(xiě)出y與x的函數(shù)關(guān)系式及定義域．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專(zhuān)題：常規(guī)題型

分析：（1）利用等腰三角形的性質(zhì)可知∠ACB=∠CAB，再由三角形內(nèi)角和定理即可證出∠AEP=∠EAP；
（2）利用對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形進(jìn)行判定，得出△EAM≌△EPN，
（3）利用△DC′Q≌△QFD，求出C′Q=FD，DQ=x-

x2-1

2x

，再求出y=（x-

x2-1

2x

）×1÷2．

解答：（1）證明：在△ABC和△AEP中
∵∠ABC=∠AEP，∠BAC=∠EAP
∴∠ACB=∠APE
∵在△ABC中，AB=BC，
∴∠ACB=∠BAC，
∵∠ABC+∠ACB+∠CAB=180°，∠AEP+∠EAP+∠EPA=180°，
∴∠EPA=∠EAP．

（2）解：∵四邊形APCD是平行四邊形，
∴AC=2EA，PD=2EP，
∵由（1）知∠EPA=∠EAP，
∴EA=EP，
則AC=PD，
∴?APCD是矩形．
∵EA=EP，
∴∠EPA=

180°-∠AEP

2

=

180°-∠ABC

2

=90°-

1

2

α
∴∠EAM=180°-∠EPA=180°-（90°-

1

2

α）=90°+

1

2

α
由（2）知∠CPB=90°，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，
∴FP=FB，
∴∠FPB=∠ABC=α，
∴∠EPN=∠EPA+∠APN=∠EPA+∠FPB=90°-

1

2

α+α=90°+

1

2

α
∴∠EAM=∠EPN，
∵∠AEP繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)適當(dāng)?shù)慕嵌�，得到∠MEN，
∴∠AEP=∠MEN，
∴∠AEP-∠AEN=∠MEN-∠AEN，即∠MEA=∠NEP，
在△EAM和△EPN中，

∠EAM=∠EPN EA=EP ∠MEA=∠NEP

∴△EAM≌△EPN（ASA），
∴EM=EN．

（3）解：作QF⊥AD垂足為F，

∵DC=1
∴FQ=1
由△DCQ沿直線DQ翻折得到△DC′Q
∴∠C′=90°   C′Q=CQ   
由C′D=FQ
設(shè)QF=a由（x-a）²=a²+1²
∴a=

x2-1

2x

DQ=x-

x2-1

2x

∴y=（x-

x2-1

2x

）×1÷2
y=

1

4

x+

1

x

x的定義域?yàn)椋?＜x＜1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的判定，平行四邊形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)和判定的綜合運(yùn)用．