Question

如圖．平行四邊形ABCD中，AD=2AB，M、N分別為AD、BC的中點(diǎn)，AN、BM交于點(diǎn)P，CM、DN交于點(diǎn)Q．求證：
（1）四邊形ABNM為菱形；
（2）四邊形PNQM為矩形．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)AM∥BN，再利用已知得出ABNM是平行四邊形，進(jìn)而得出AB=AM，從而得出四邊形是菱形；
（2）利用菱形性質(zhì)及判定得出四邊形MNCD是菱形，進(jìn)而得出∠MNA+∠MND=90°，即可得出四邊形PNQM為矩形．
解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)M、N分別為AD、BC中點(diǎn)，
∴AM∥BN．AM=AD，BN=CD，AD=BC．（2分）
∴AM=BN，∴ABNM是平行四邊形．（1分）
∵AD=2AB，∴AB=AD，∴AB=AM．（1分）
∴四邊形ABNM是菱形．（1分）

（2）∵四邊形ABNM是菱形，
∴∠MPN=90°，∠BNA=∠MNA．（2分）
同理可得：四邊形MNCD是菱形．
∠MQN=90°，∠MND=∠CND．（1分）
∴∠MNA+∠MND=90°．（1分）
∴四邊形PNQM為矩形．（1分）
點(diǎn)評：此題主要考查了菱形的判定與矩形的判定，靈活地應(yīng)用矩形與菱形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．