Question

14．如圖，已知A為直線y=x上一點，過A作BA⊥OA交雙曲線y=$\frac{k}{x}$于B，若OA²-AB²=8，求k的值．

Answer 1

分析 延長AB交x軸于C點，作AF⊥x軸于F點，BE⊥x軸于E點，由于直線y=x為第一、三限的角平分線，則△AOB、△BEC為等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得AC=AO=$\sqrt{2}$AF，BC=$\sqrt{2}$BE=$\sqrt{2}$CE，AF=$\frac{1}{2}$OC，可得到AB=AC-BC=$\sqrt{2}$（AF-BE），利用OA²-AB²=8變形得2AF•BE-BE²=4，即BE（2AF-BE）=4，由于OC=2AF，BE=EC，所以BE•OE=4，則得到B點的橫縱坐標之積為4，從而得到k的值為4．

解答 解：延長AB交x軸于C點，作AF⊥x軸于F點，BE⊥x軸于E點，如圖，
∵點A為直線y=x上一點，
∴∠AOC=90°，
∵AB⊥直線y=x，
∴△AOC、△BEC為等腰直角三角形，
∴AC=AO=$\sqrt{2}$AF，BC=$\sqrt{2}$BE=$\sqrt{2}$CE，AF=$\frac{1}{2}$OC，
∴AB=AC-BC=$\sqrt{2}$（AF-BE），
∵OA²-AB²=8，
∴（$\sqrt{2}$AF）²-[$\sqrt{2}$（AF-BE）]²=8，
整理得2AF•BE-BE²=4，
∴BE（2AF-BE）=4，
∴BE（OC-CE）=4，即BE•OE=4，
設(shè)B點坐標為（x，y），則BE=y，OE=x，
∴BE•OE=xy=4，
∴xy=4，
∴k=4．

點評 本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：反比例函數(shù)圖象上點的坐標滿足其解析式；熟練運用等腰直角三角形的性質(zhì)解決幾何計算．