Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知OA=2，OC=4，⊙M與y軸相切于
點(diǎn)C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，∠ACD=90°，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)．
（1）求證：∠CAO=∠CAD；
（2）求弦BD的長；
（3）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△PBC是以BC為腰的等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）利用切線的性質(zhì)性質(zhì)得出∠MCO=90°，進(jìn)而得出∠OCA=∠MCD=∠MDC，再利用∠OCA+∠OAC=90°求出即可；
（2）利用圓周角定里以及平行線的性質(zhì)，首先得出四邊形COMN為矩形，進(jìn)而求出BD=2MN；
（3）分別利用當(dāng)CP=CB時(shí)，△PCB為等腰三角形，當(dāng)BP=BC時(shí)，△PCB為等腰三角形，利用勾股定理求出即可．

解答：（1）證明：如圖1，連接MC，
∵⊙M與y軸相切于點(diǎn)C，∴CM⊥OC，
∴∠MCO=90°，
又∵∠ACD=90°
∴AD為⊙M的直徑，
∵DM=CM，∠ACD+∠ADC=90°
∴∠MCD=∠MDC，
∵∠OCA+∠ACM=∠OCM=90°
∴∠MCD+∠ACM=90°
∴∠OCA=∠MCD=∠MDC
∵∠OCA+∠OAC=90°
∴∠OAC=∠CAD； 

（2）解：如圖1，過點(diǎn)M作MN⊥OB于點(diǎn)N，
由（1）可知，AD是⊙M的直徑，
∴∠ABD=90°，
∵M(jìn)N⊥AB，∴∠MNA=90°，
∴MN∥BD，
∴

AM

AD

=

MN

BD

=

1

2

，
∵∠OCM=∠CON=∠MNO=90°，
∴四邊形COMN為矩形，
∴MN=CO=4，
∴BD=2MN=8；

（3）解：拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)P，使△PBC是以BC為腰的等腰三角形．
在⊙M中，弧AC=弧AC，∴∠ADC=∠ABC，
由（1）知，∠ADC=∠OCA，
∴∠OCA=∠OBC
在Rt△CAO和Rt△BOC中，
tan∠OCA=

OA

OC

=

2

4

=

1

2

，∴tan∠OBC=

OC

OB

=

1

2

，∴OB=2OC=8，
∴A（2，0），B（8，0），
∵拋物線經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，
∴A，B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，其對(duì)稱軸為直線：x=5；
當(dāng)CP=CB時(shí)，△PCB為等腰三角形，
在Rt△COB中，BC²=CO²+OB²=4²+8²=80，
如圖2，在Rt△CMP₁中，
P1M2=CP2-CM2=80-25=55，
P1M=

55

，P1N=P1M+MN=

55

+4，
∴P₁(5，

55

+4)，
同理可求P₂的坐標(biāo)是(5，4-

55

)  
當(dāng)BP=BC時(shí)，△PCB為等腰三角形，P3N=

P3B2-BN2

=

80-9

=

71

，
∴P₃(5，

71

)，
同理可得P₄坐標(biāo)為(5，-

71

)，
∴符合條件的點(diǎn)P有四個(gè)，坐標(biāo)分別為P₁(5，

55

+4)，P₂(5，4-

55

)，P₃(5，

71

)，(5，-

71

)．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用以及矩形的判定和等腰三角形的性質(zhì)以及切線的性質(zhì)等知識(shí)，利用分類討論得出是解題關(guān)鍵．