Question

如圖，在正方形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，AF垂直DE于點(diǎn)O，
（1）證明：點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)；
（2）求OA：OF的值．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=AD，再根據(jù)同角的余角相等求出∠1=∠2，然后利用“角邊角”證明△ABF和△DAE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BF=AE，從而得證；
（2）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2a，利用勾股定理列式求出DE，再利用三角形的面積列式求出AO，然后表示出OF，再相比即可．

解答：（1）證明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠1+∠3=90°，
∵AF⊥DE，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
在△ABF和△DAE中，

∠1=∠2 AB=AD ∠DAE=∠B=90°

，
∴△ABF≌△DAE（ASA），
∴BF=AE，
∵E為AB的中點(diǎn)，
∴AE=

1

2

AB，
∴BF=

1

2

BC，
∴點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)；

（2）解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2a，
則AE=

1

2

AB=a，
由勾股定理得，DE=

AD2+AE2

=

(2a)2+a2

=

5

a，
S_△ADE=

1

2

×2a×a=

1

2

×

5

a•OA，
解得OA=

2 5

5

a，
∴OF=AF-OA=

5

a-

2 5

5

a=

3 5

5

a，
∴OA：OF=

2 5

5

a：

3 5

5

a=2：3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟記性質(zhì)并確定出三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵，（2）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)然后分別表示出OA、OF計(jì)算更簡(jiǎn)便．