Question

【題目】如圖，平面直角坐標系中，O為菱形ABCD的對稱中心，已知C（2，0），D（0，﹣1），N為線段CD上一點（不與C、D重合）．

（1）求以C為頂點，且經(jīng)過點D的拋物線解析式；

（2）設(shè)N關(guān)于BD的對稱點為N1，N關(guān)于BC的對稱點為N2，求證：△N1BN2∽△ABC；

（3）求（2）中N1N2的最小值；

（4）過點N作y軸的平行線交（1）中的拋物線于點P，點Q為直線AB上的一個動點，且∠PQA=∠BAC，求當PQ最小時點Q坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣（x﹣2）2（2）證明見解析（3）（4）

【解析】試題分析：（1）用待定系數(shù)法求，即可；

（2）由對稱的特點得出∠N1BN2=2∠DBC結(jié)合菱形的性質(zhì)即可；

（3）先判定出，當BN⊥CD時，BN最短，再利用△ABC∽△N1BN2得到比例式，求解，即可；

（4）先建立PE=m2﹣m+2函數(shù)解析式，根據(jù)拋物線的特點確定出最小值．

試題解析：（1）由已知，設(shè)拋物線解析式為y=a（x﹣2）2

把D（0，﹣1）代入，得a=﹣

∴y=﹣（x﹣2）2

（2）如圖1，連結(jié)BN．

∵N1，N2是N的對稱點

∴BN1=BN2=BN，∠N1BD=∠NBD，∠NBC=∠N2BC

∴∠N1BN2=2∠DBC

∵四邊形ABCD是菱形

∴AB=BC，∠ABC=2∠DBC

∴∠ABC=∠N1BN2，

∴△ABC∽△N1BN2

（3）∵點N是CD上的動點，

∴點到直線的距離，垂線段最短，

∴當BN⊥CD時，BN最短．

∵C（2，0），D（0，﹣1）

∴CD=，

∴BNmin=，

∴BN1min=BNmin=，

∵△ABC∽△N1BN2

∴，

N1N2min=，

（4）如圖2，

過點P作PE⊥x軸，交AB于點E．

∵∠PQA=∠BAC

∴PQ1∥AC

∵菱形ABCD中，C（2，0），D（0，﹣1）

∴A（﹣2，0），B（0，1）

∴lAB：Y=x+1

不妨設(shè)P（m，﹣（m﹣2）2），則E（m， m+1）

∴PE=m2﹣m+2

∴當m=1時，

此時，PQ1最小，最小值為=，

∴PQ1=PQ2=．