Question

如圖，E、F、G、H分別為正方形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上的點，且AE=BF=CG=DH=AB，則圖中陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為    ．

Answer 1

【答案】分析：先設正方形的邊長為a，再求證Rt△AED≌Rt△DHC≌Rt△CGB≌Rt△BFA，再由AE=BF=CG=DH=AB可求出其面積，由相似三角形的判定定理可求出△DHJ、△AEL、△BFN、△CKG是直角三角形，且都全等，再根據S_陰影=S_□ABCD-4S_△AED+4S_△AEL計算即可．
解答：解：設正方形的邊長為a，則S_□ABCD=a²，
∵AE=BF=CG=DH=AB，
∴AE=BF=CG=DH=a，
∴AF==a，
∵∠DAE=∠DCB=∠ADC=∠ABC=90°，
∴Rt△AED≌Rt△DHC≌Rt△CGB≌Rt△BFA，
∴S_△AED=×a•a=a²．
∵Rt△AED≌Rt△BFA，
∴∠EAL=∠ADE，∠AEL=∠BFN，
∴∠ALE=∠DAE=90°，
∴△AEL是直角三角形，
∵∠EAL=∠EAL，∠ALE=∠ABF=90°，
∴Rt△AEL∽Rt△AFB，
∴==，即==，
解得，AL=a，EL=，
∴S_△AEL=AL•EL=×a×=，
同理可得，S_△AEL=S_△BNF=S_△CKG=S_△DHJ=，
∴S_陰影=S_{正方形ABCD}-4S_△AED+4S_△AEL=a²-4S_△AED+4S_△AEL=a²-4×a²+4×=a²，
∴陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為a²：a²=．
點評：本題涉及到直角三角形的判定定理、相似三角形的判定及性質、矩形及直角三角形的面積公式，比較復雜，涉及面較廣，但難度適中．