Question

【題目】已知拋物線(xiàn)C1：y＝ax2﹣4ax﹣5的開(kāi)口向上．

（1）當(dāng)a＝1時(shí)，求拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）試說(shuō)明拋物線(xiàn)C1一定經(jīng)過(guò)兩個(gè)定點(diǎn)，并求出這兩個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）將拋物線(xiàn)C1沿（2）所求的兩個(gè)定點(diǎn)所在直線(xiàn)翻折，得到拋物線(xiàn)C2，

①寫(xiě)出拋物線(xiàn)C2的表達(dá)式；

②當(dāng)拋物線(xiàn)C2的頂點(diǎn)到x軸的距離為2，求a的值．

Answer 1

【答案】（1）拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0）或（5，0）；（2）拋物線(xiàn)C1一定經(jīng)過(guò)兩個(gè)定點(diǎn)（0，﹣5），（4，﹣5）；（3）①拋物線(xiàn)C2解析式為y＝﹣ax2+4ax﹣5，②a＝或．

【解析】

（1）將a＝1代入函數(shù)解析式，即可求出函數(shù)的解析式，然后令y=0，求出x的值即可解決.

（2）將解析式化成兩部分，一部分為常數(shù)項(xiàng)，另一部分進(jìn)行因式分解寫(xiě)成幾個(gè)因式相乘的形式，觀察解析式的特征，即可解決問(wèn)題.

（3）①根據(jù)翻折的性質(zhì)，拋物線(xiàn)開(kāi)口方向相反，但對(duì)稱(chēng)軸沒(méi)有發(fā)生變化，根據(jù)此可以得到拋物線(xiàn)C2解析式為：y＝﹣ax2+4ax﹣5，②根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可知y=2或y=-2，對(duì)稱(chēng)軸未發(fā)生變化，x=2，將兩者分別代入，求出a的值即可.

（1）當(dāng)a＝1時(shí)，拋物線(xiàn)解析式為y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9，

∴對(duì)稱(chēng)軸為x＝2；

∴當(dāng)y＝0時(shí)，x﹣2＝3或﹣3，即x＝﹣1或5；

∴拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0）或（5，0）；

（2）拋物線(xiàn)C1解析式為：y＝ax2﹣4ax﹣5，

整理得：y＝ax（x﹣4）﹣5；

∵當(dāng)ax（x﹣4）＝0時(shí)，y恒定為﹣5；

∴拋物線(xiàn)C1一定經(jīng)過(guò)兩個(gè)定點(diǎn)（0，﹣5），（4，﹣5）；

（3）①這兩個(gè)點(diǎn)連線(xiàn)為y＝﹣5；

將拋物線(xiàn)C1沿y＝﹣5翻折，得到拋物線(xiàn)C2，開(kāi)口方向變了，但是對(duì)稱(chēng)軸沒(méi)變；

∴拋物線(xiàn)C2解析式為：y＝﹣ax2+4ax﹣5，

②拋物線(xiàn)C2的頂點(diǎn)到x軸的距離為2，

則x＝2時(shí)，y＝2或者﹣2；

當(dāng)y＝2時(shí)，2＝﹣4a+8a﹣5，解得，a＝；

當(dāng)y＝﹣2時(shí)，﹣2＝﹣4a+8a﹣5，解得，a＝；

∴a＝或．