Question

已知：如圖，在平面直角坐標系內，直線y=x上有一點A，AD⊥x軸于D，且AD=3，C是x軸上的一點，AC⊥AO，長度等于OD的線段EF在x軸上沿OC方向以1/s的速度向點C運動（運動前EF和OD重合，當F點與C重合時停止運動，包括起點、終點），過E，F分別作OC的垂線交直角邊于點P、點Q，連接線段PD，QD，PQ，PQ交線段AD于點M，若設EF運動的時間為t（s）．
（1）寫出A點坐標______．PE=______（用含t的代數式表示線段），其中自變量t的取值范圍為______；
（2）是否存在t的值，使得線段PD⊥QD？若存在，請求出相應的t的值，若不存在，請說明理由；
（3）①當t=秒時，線段AM=______；
②求線段AM關于自變量t的函數解析式，并求出AM的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據直線方程和點的縱坐標可以求出橫坐標，進而求出點的坐標；找到終點位置，可以知道t的極限值．
（2）把結論當做已知條件，根據勾股定理或者三角形相似列出方程式，找到相應的關系式，驗證是否在定義域內即可．
（3）可以有多種做法，例如S_△APQ面積的多種求法、△PMH∽△PTQ等都可以列出方程式，根據定義域可以知道最大值．
解答：解：（1）∵AD⊥x軸于D，且AD=3點A過直線y=x
∴代入函數式解得A點坐標為（4，3）
解法①由題意得P點橫坐標為t，過直線y=x，所以縱為坐標，即PE=；
解法②∵AP⊥AQ，AM⊥EF
易證△AOD∽△ADC∽△AOC∽△OPE∽△CQF，且三邊之比都為3：4：5，
求得PE=，DC=．
∴t的取值范圍為0≤t≤；

（2）不存在t的值使PD⊥QD，理由如下：
方法一（相似）
∵OE=DF=t，∴FC=-t
∴QF=
若PD⊥QD，易證△PED∽△DQF
則=
∴=
4-t=-t
4=
這是不可能的，
∴不存在t的值使PD⊥QD
方法二（勾股定理的逆定理）
∵AP²+AQ²=（5-）²+（）²=25-+²+²（2分）
PD²+QD²=（PE²+DE²）+（DF²+FQ²）=（）²+（4-t）²+t²+（3-）²（1分）
∴AP²+AQ²≠PD²+QD²
∴PD⊥QD不可能（2分）
∴不存在t的值使PD⊥QD．

（3）①解法如下，只要把當t=秒代入②中表達式
②方法一（面積法）：
∵AP⊥AQ，AM⊥EF
∴S_△APQ=AP×AQ=AM×ED+AM×DF=AM×EF
∴AM==
==-²
=-（t-2）²+
∴當t=2秒時，AM最大值為．
方法二（相似）
過P作PH⊥QF于T，交AD于H．
QT=3-_-=3_-
∵△PMH∽△PTQ
∴=
即=
∴MH=-²-+3
∴AM=AD-HD-MH=-²+
∴當t=2秒時，AM最大值為

方法三（函數法）
設直線PQ解析式為y=kx+b．
∵P（t，），Q（t+4，3-）
∴解得
∴y=（）x+
∵M_x=4
∴M_y=（）×4+=3-=MD
∴AM=AD-MD
=3-（3-）
=-²+
∴當t=2秒時，AM最大值為．
點評：本題是函數與各種圖形相結合的問題，在圖形中滲透運動的觀點是中考中經常出現的問題，在平常的練習中多加注意．每道題都有不同的做法，根據不同的知識點可以有很多種思路，嘗試著多種方法做題可以很好的鞏固所學知識．