Question

已知拋物線y=x²-2x+c（c＜0）的頂點(diǎn)為M，與y軸相交于點(diǎn)C，A（m，）是直線MC上的點(diǎn)
（1）若點(diǎn)A關(guān)于y軸對稱點(diǎn)B恰好在拋物線上，求拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）在（1）的條件下，若C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為N，在拋物線y=x²-2x+c（c＜0）上是否存在點(diǎn)P，使得以A、C、P、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在請說明理由．

Answer 1

解：（1）由y=x²-2x+c=（x-1）²+c-1（c＜0）知，M（1，c-1）、C（0，c）；
設(shè)直線MC的解析式：y=kx+b，則有：
，
解得
故直線MC：y=-x+c；
∵A（m，）是直線MC上的點(diǎn)，
∴-c=-m+c…①
∵點(diǎn)A關(guān)于y軸對稱點(diǎn)B（-m，-c）在拋物線上，
∴-c=m²-2（-m）+c…②
聯(lián)立①②，解得：（舍），
故拋物線對應(yīng)的函數(shù)式：y=x²-2x-．

（2）假設(shè)存在符合題意的平行四邊形；
由（1）知，A（-3，）、C（0，-）、N（0，）；
①當(dāng)CN為平行四邊形的邊時(shí)，CNAP，已知：CN=，則有：
將點(diǎn)A向上平移個(gè)單位，得 P₁（-3，）；
將點(diǎn)A向下平移個(gè)單位，得 P₂（-3，-）；
②當(dāng)CN為平行四邊形的對角線時(shí)，點(diǎn)A、P關(guān)于原點(diǎn)對稱，
則 P₃（3，-）；
又∵點(diǎn)P在拋物線上，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，-），
，綜上當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，-）時(shí)，以A、C、P、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．
分析：（1）首先用c表示出M點(diǎn)的坐標(biāo)，再由待定系數(shù)法可求出直線MC的表達(dá)式，已知點(diǎn)A（m，-c）在直線MC上，且點(diǎn)B（-m，-c）在拋物線上，通過聯(lián)立方程組即可求出m、c的值．
（2）由于四邊形的四頂點(diǎn)排序沒有明確，所以要分情況進(jìn)行討論，通過題意不難得出點(diǎn)C、N都在y軸上，所以：
①當(dāng)CN為平行四邊形的邊時(shí)，那么AP與CN平行且相等，所以將點(diǎn)A向上或向下平移CN長個(gè)單位即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)（有兩個(gè)）；
②當(dāng)CN為平行四邊形的對角線時(shí)，由于平行四邊形是中心對稱圖形，且C、N關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以點(diǎn)A、P必關(guān)于原點(diǎn)對稱，則P點(diǎn)坐標(biāo)可求．
點(diǎn)評：此題主要考查了函數(shù)解析式的確定以及平行四邊形的判定和性質(zhì)，在平行四邊形的四頂點(diǎn)排序不確定的情況下，一定要分類進(jìn)行討論．