Question

7．如圖1，線段AB與線段CD的中點(diǎn)重合，根據(jù)“邊角邊”可以得到△ACO≌△BDO，進(jìn)一步可以得到對(duì)應(yīng)的邊相等，對(duì)應(yīng)的角相等．
（1）問題探究：
①如圖2，在四邊形ABCD中，AB∥CD，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，∠BAE=∠EAD，試探究AB與AD、CD之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
②如圖3，DE、BC相交于點(diǎn)E，BA交DE于點(diǎn)A，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，且∠BAE=∠EDF，CF∥AB，試探究AB與DE、CF之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）拓展延伸
①如圖4，DE、BC相交于點(diǎn)E，BA交DE于點(diǎn)A，且BE：EC=1：2，∠BAE=∠EDF，CF∥AB，試探究AB與DF、CF之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論：
②如圖所示，DE、BC相交于點(diǎn)E，BA交DE于點(diǎn)A，且BE：EC=1：n，∠BAE=∠EDF，CF∥AB，直接寫出AB與DF、CF之間的等量關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）①結(jié)論：AD=AB+CD．如圖2中延長AE、DC交于點(diǎn)F，只要證明△ABE≌△FCE以及DA=DF即可．
結(jié)論DF=AB-CF，如圖3中延長DE、CF交于點(diǎn)G，只要證明△ABE≌△GCE，以及DF=FG即可．
（2）①結(jié)論：DF=2•AB-CF，如圖4中，延長DE、CF交于點(diǎn)G，只要證明△ABE∽△GCE以及DF=FG；
②結(jié)論：DF=n•AB-CF證明方法類似①．

解答 解：（1）①結(jié)論：AD=AB+CD．理由如下，
如圖2中，延長AE、DC交于點(diǎn)F．
∵AB∥CF，
∴∠B=∠ECF，
在△ABE和△FCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠ECF}\\{BE=EC}\\{∠AEB=∠FEC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△FCE，
∴AB=CF，∠BAE=∠F=∠DAF
∴DA=DF，
∴AD=DC+CF=CD+AB．
②結(jié)論：DF=AB-CF，理由如下，
如圖3中，延長DE、CF交于點(diǎn)G．
∵AB∥CF，
∴∠B=∠C，
在△ABE和△GCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠C}\\{BE=EC}\\{∠AEB=∠GEC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△GCE，
∴AB=CG，∠BAE=∠G=∠GDF，
∴DF=FG，
∴DF=GC-CF=AB-AF．
（2）①結(jié)論：DF=2•AB-CF．理由如下，
如圖4中，延長DE、CF交于點(diǎn)G，
∵AB∥GC，
∴△ABE∽△GCE，
∴$\frac{AB}{GC}$=$\frac{BE}{EC}$=$\frac{1}{2}$．∠BAE=∠G=∠GDF，
∴DF=FG，GC=2•AB，
∴DF=CG-CF=2•AB-CF．
②結(jié)論：DF=n•AB-CF．理由如下，
如圖4中，延長DE、CF交于點(diǎn)G，
∵AB∥GC，
∴△ABE∽△GCE，
∴$\frac{AB}{GC}$=$\frac{BE}{EC}$=$\frac{1}{n}$．∠BAE=∠G=∠GDF，
∴DF=FG，GC=n•AB
∴DF=CG-CF=n•AB-CF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是倍長中線添加輔助線，構(gòu)造全等三角形，屬于中考�？碱}型．