Question

如圖△ABC中，AC=BC，點(diǎn)D為BC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，DE⊥BA于E，連CE交AD于F，若DC=nBD．
①若n=2時(shí)，

BE

AB

=

 

．
②若n=3時(shí)，求

EF

FC

的值；
③若n=

 

時(shí)，EF=FC．

Answer 1

分析：①過點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，由于DE⊥BA于E，所以DE∥CH，所以△BED∽△BHC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可以求出

BE

AB

的值．
②過點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，交AD于點(diǎn)G，由（1）知，

BD

BC

=

BE

BH

，由于DC=nBD且n=3，所以

BD

BC

=

BE

BH

=

1

4

，由于△AGH∽△ADE，所以

GH

DE

=

AH

AE

=

4

7

，又因?yàn)椤鱀EF∽△GCF，所以

EF

FC

=

DE

CG

=

7

24

，所以

EF

FC

=

7

24

；
（3）過點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，交AD于點(diǎn)G，由于△DEF∽△GCF，所以

EF

CF

=

DE

CG

，由于EF=FC，所以DE=CG，設(shè)DE=CG=x，GH=y，
由△BED∽△BHC，得

BD

BC

=

DE

CH

，即

1

n+1

=

x

x+y

①，由△AGH∽△ADE，得

HG

ED

=

AH

AE

，即

y

x

=

n

2n+1

②，聯(lián)立①②式，解得，n=

2

2

．

解答：解：（1）如圖，過點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，
∵DE⊥BA于E，
∴DE∥CH，
∴△BED∽△BHC，
∴

BD

BC

=

BE

BH

，
由于DC=nBD且n=2，
∴

BD

BC

=

BE

BH

=

1

3

，
∵CH⊥AB于點(diǎn)H，
∴BH=HA，
∴

BE

AB

=

1

6

；

（2）如圖示，過點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，交AD于點(diǎn)G，
由（1）知，

BD

BC

=

BE

BH

，由于DC=nBD且n=3，∴

BD

BC

=

BE

BH

=

1

4

，
同理，△AGH∽△ADE，∴

GH

DE

=

AH

AE

=

4

7

，
又△DEF∽△GCF，∴

EF

FC

=

DE

CG

=

7

24

，即

EF

FC

=

7

24

；

（3）如圖示，過點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，交AD于點(diǎn)G，
△DEF∽△GCF，∴

EF

CF

=

DE

CG

，
由于EF=FC，所以DE=CG，
設(shè)DE=CG=x，GH=y，
由△BED∽△BHC，得

BD

BC

=

DE

CH

，即

1

n+1

=

x

x+y

①，
由△AGH∽△ADE，得

HG

ED

=

AH

AE

，即

y

x

=

n

2n+1

②，
聯(lián)立①②式，解得，n=

2

2

．

點(diǎn)評(píng)：通過平行線證得三角形相似，能夠根據(jù)比例的性質(zhì)進(jìn)行比例式的靈活變形．熟悉相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．