Question

如圖，在銳角△ABC中，BC=12，△ABC的面積為48，D、E分別是邊AB、AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（D不與A、B重合），且保持DE∥BC，以DE為邊，在點(diǎn)A的異側(cè)作正方形DEFG．
（1）當(dāng)正方形DEFG的邊GF在BC上時(shí)，求正方形DEFG的邊長(zhǎng)；
（2）設(shè)DE=x，△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積為y，試求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，寫(xiě)出x的取值范圍，并求出y的最大值．
（3）若tanB=4，連接FC，將△EFC沿直線EF翻折，點(diǎn)C的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P點(diǎn)，求點(diǎn)P落在正方形DEFG內(nèi)部時(shí)的x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)A作BC邊上的高AM，交DE于N，垂足為M．利用面積法求得AM=8；由相似三角形△ADE∽△ABC的對(duì)應(yīng)邊成比例、圖中的相關(guān)線段間的和差關(guān)系得到

DE

12

=

8-DE

8

，易求DE=4.8；
（2）分兩種情況：①當(dāng)正方形DEFG在△ABC的內(nèi)部時(shí)，②當(dāng)正方形DEFG的一部分在△ABC的外部時(shí)，依據(jù)平行線以及正方形的性質(zhì)，可得二次函數(shù)，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，解可得重合部分的面積，比較可得面積的最大值；
（3）分類(lèi)討論：①當(dāng)正方形DEFG的GF邊在BC上時(shí)，可求得GF=4.8，BG=1.2，F(xiàn)C=6，顯然點(diǎn)P不在正方形DEFG內(nèi)部．
②隨著邊長(zhǎng)的增大，正方形與BC相交，正方形與△ABC重疊部分為一個(gè)矩形．設(shè)DG與BC交于Q，EF與BC交于T，ET=y，由相似三角形△CTE∽△CMA、△ADE∽△ABC的對(duì)應(yīng)邊成比例得到：y=

24-2x

3

，由圖形知CT＜QT，即

5

4

y＜x，然后結(jié)合圖形和該不等式來(lái)求x的取值范圍．

解答：解：（1）當(dāng)正方形DEFG的邊GF在BC上時(shí)，如圖1，過(guò)點(diǎn)A作BC邊上的高AM，交DE于N，垂足為M．
∵S_△ABC=48，BC=12，
∴AM=8
∵DE∥BC，△ADE∽△ABC
∴

DE

BC

=

AN

AM

而AN=AM-MN=AM-DE
∴

DE

12

=

8-DE

8

解之得 DE=4.8
∴當(dāng)正方形DEFG的邊GF在BC上時(shí)，正方形DEFG的邊長(zhǎng)為4.8．

（2）分兩種情況：
①如圖2，當(dāng)正方形DEFG在△ABC的內(nèi)部時(shí)，△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積為正方形DEFG的面積．
∵DE=x，
∴y=x²，此時(shí)x的范圍是0＜x≤4.8．

②如圖3，當(dāng)正方形DEFG的一部分在△ABC的外部時(shí)，設(shè)DG與BC交于點(diǎn)Q，EF與BC交于點(diǎn)T，△ABC的高AM交DE于N，
∵DE=x，DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC
即

DE

BC

=

AN

AM

而AN=AM-MN=AM-ET
∴

x

12

=

8-ET

8

解得 ET=8-

2

3

x
所以y=x（8-

2

3

x）
即y=-

2

3

x²+8x
由題意，x＞4.8，x＜12，
∴4.8＜x＜12
∴△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積為y=

x2(0＜x≤4.8) - 2 3 x2+8x(4.8＜x＜12)

當(dāng)0＜x≤4.8時(shí)，△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積的最大值為4.8²=23.04 
當(dāng)4.8＜x＜12時(shí)，∴y=-

2

3

x²+8x，
∴當(dāng)x=-

8

2×(- 2 3 )

=6時(shí)，△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積的最大值為

4×(- 2 3 )×0-82

4×(- 2 3 )

=24
∵24＞23.04，
∴△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積的最大值為24．

（3）AM⊥BC于M，可得AM=8
∵tanB=4，
∴BM=2，
∴CM=10
①當(dāng)正方形DEFG的GF邊在BC上時(shí)，可求得GF=4.8，BG=1.2，F(xiàn)C=6，顯然點(diǎn)P不在正方形DEFG內(nèi)部．
②隨著邊長(zhǎng)的增大，正方形與BC相交，正方形與△ABC重疊部分為一個(gè)矩形．
設(shè)DG與BC交于Q，EF與BC交于T，ET=y，
∵△CTE∽△CMA
∴

y

8

=

CT

10

，
∴CT=

5

4

y
∵△ADE∽△ABC
∴

8-y

8

=

x

12

，
∴y=

24-2x

3

，
∵點(diǎn)P在正方形內(nèi)，
∴CT＜QT，即

5

4

y＜x
∴

5

4

•

24-2x

3

＜x
∴x＞

60

11

，
又x＜12
∴點(diǎn)P落在正方形DEFG內(nèi)部時(shí)的x的取值范圍是

60

11

＜x＜12．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)，平行線以及正方形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，要根據(jù)題意，得到二次函數(shù)關(guān)系，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得答案．