Question

13．數(shù)學實驗室：
點A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，A、B兩點之間的距離表示為AB，在數(shù)軸上A、B兩點之間的距離AB=|a-b|．
利用數(shù)形結合思想回答下列問題：
①數(shù)軸上表示2和5兩點之間的距離是3，數(shù)軸上表示1和-3的兩點之間的距離是4．
②數(shù)軸上表示x和-2的兩點之間的距離表示為|x+2|．數(shù)軸上表示x和5的兩點之間的距離表示為|5-x|．
③若x表示一個有理數(shù)，則|x-1|+|x+3|的最小值=4．
④若x表示一個有理數(shù)，且|x+3|+|x-2|=5，則滿足條件的所有整數(shù)x的是-3或2或-1或0或1或2．
⑤若x表示一個有理數(shù)，當x為3，式子|x+2|+|x-3|+|x-5|有最小值為7．

Answer 1

分析 ①②在數(shù)軸上A、B兩點之間的距離AB=|a-b|，依此即可求解；
④根據(jù)絕對值的性質(zhì)去掉絕對值號，然后計算即可得解；
③首先將原式變形為y=|x-1|+|x+3|，然后分別從當x≥1時，當-3≤x＜1時，當x＜-3時去分析，根據(jù)一次函數(shù)的增減性，即可求得y的最小值；
④當x＜-3時，當-3≤x≤2時，當x＞2時，當x=-1，當x=1，當x=0去分析，根據(jù)一次函數(shù)的增減性，即可求得答案；
⑤當x≥5時，當3≤x＜5時，當-2≤x＜3時，當x＜-2時去分析，根據(jù)一次函數(shù)的增減性，即可求得y的最小值．

解答 解：①數(shù)軸上表示2和5兩點之間的距離是5-2=3，數(shù)軸上表示1和-3的兩點之間的距離是1-（-3）=4，
故答案為：3，4；

②數(shù)軸上表示x和-2的兩點之間的距離表示為|x-（-2）|=|x+2|，數(shù)軸上表示x和5的兩點之間的距離表示為|5-x|，
故答案為：|x+2|，|5-x|；

③當x＜-3時，|x-1|+|x+3|=1-x-x-3=-2x-2，
當-3≤x≤1時，|x-1|+|x+3|=1-x+x+3=4，
當x＞1時，|x-1|+|x+3|=x-1+x+3=2x+2，
在數(shù)軸上|x-1|+|x+3|的幾何意義是：表示有理數(shù)x的點到-3及到1的距離之和，所以當-3≤x≤1時，它的最小值為4，
故答案為：4；

④當x＜-3時，|x+3|+|x-2|=-x-3+2-x=-2x-1=5，
解得：x=-3，
此時不符合x＜-3，舍去；
當-3≤x≤2時，|x+3|+|x-2|=x+3+2-x=5，
此時x=-3或x=2；
當x＞2時，|x+3|+|x-2|=x+3+x-2=2x+1=5，
解得：x=2，
此時不符合x＞2，舍去；
當x=0時，|x+3|+|x-2|=5；
當x=1時，|x+3|+|x-2|=5；
當x=-1時，|x+3|+|x-2|=5；
故答案為：-3或2或-1或0或1或2；

⑤∵設y=|x+2|+|x-3|+|x-5|，
i、當x≥5時，y=x+2+x-3+x-5=3x-6，
∴當x=5時，y最小為：3x-6=3×5-6=9；
ii、當3≤x＜5時，y=x+2+x-3+5-x=x+4，
∴當x=3時，y最小為7；
iii、當-2≤x＜3時，y=x+2+3-x+5-x=10-x，
∴此時y最小接近7；
iiii、當x＜-2時，y=-x-2+3-x+5-x=6-x，
∴此時y最小接近8；
∴y的最小值為7．
故答案為：3，7．

點評 本題考查了數(shù)軸，絕對值的性質(zhì)，讀懂題目信息，理解數(shù)軸上兩點間的距離的表示是解題的關鍵．注意分類思想的運用．