Question

20．如圖，已知拋物線y=ax²-$\frac{3}{2}$x+c與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于C點(diǎn)，已知點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是A（-1，0）、B（4，0）．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）在x軸上是否存在一點(diǎn)P，使△PBC是以BC為腰的等腰三角形？若存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由于已知拋物線與x軸的交點(diǎn)，則可設(shè)交點(diǎn)式y(tǒng)=a（x+1）（x-4），化為一般式得到y(tǒng)=ax²-3ax-4a，則-3a=-$\frac{3}{2}$，然后求出a的值即可得到拋物線解析式；
（2）先求出C點(diǎn)坐標(biāo)，再計算出BC的長，然后分類討論：分別以點(diǎn)B、C為圓心，BC為半徑畫弧，弧與x軸的交點(diǎn)即為P點(diǎn)，然后寫出對應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-4），
即y=ax²-3ax-4a，
所以-3a=-$\frac{3}{2}$，解得a=$\frac{1}{2}$，
所以拋物線解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2；
（2）存在．
當(dāng)x=0時，y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2=-2，則C（0，-2），
所以BC=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
當(dāng)CP=CB時，點(diǎn)P與點(diǎn)B關(guān)于y軸對稱，此時P點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，0）；
當(dāng)BP=BC=2$\sqrt{5}$時，若點(diǎn)P在B點(diǎn)左側(cè)，P點(diǎn)坐標(biāo)為（-2$\sqrt{5}$+4，0），若點(diǎn)P在B點(diǎn)右側(cè)，P點(diǎn)坐標(biāo)為（2$\sqrt{5}$+4，0），
綜上所述，滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，0）或（-2$\sqrt{5}$+4，0）或（2$\sqrt{5}$+4，0）．

點(diǎn)評 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：從二次函數(shù)的交點(diǎn)式：y=a（x-x₁）（x-x₂）（a，b，c是常數(shù)，a≠0）中可直接得到拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)（x₁，0），（x₂，0）．解決（2）小問的關(guān)鍵是應(yīng)用分類討論的思想．