Question

6．如圖，點Q是等邊△ABC的邊BC上一點，以AQ為邊作等邊△AQP，求證：PC∥AB．

Answer 1

分析 延長PC到點D，使CD=BQ，如圖，BC=QD，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠B=60°，AB=BC，AQ=QP，∠AQP=60°，再利用三角形外角性質(zhì)可證明∠1=∠2，于是可根據(jù)“SAS”判定△ABQ≌△QDP，得到BQ=DP，∠B=∠D=60°，所以DC=DP，則可判斷△DCP為等邊三角形得到∠PCD=60°，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)得到PC∥AB．

解答 證明：延長PC到點D，使CD=BQ，如圖，BC=QD，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠B=60°，AB=BC，
∴AB=QD，
∵△APQ為等邊三角形，
∴AQ=QP，∠AQP=60°，
∵∠AQD=∠1+∠B，即∠2+AQP=∠1+B，
∴∠1=∠2，
在△ABQ和△QDP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=QD}\\{∠1=∠2}\\{AQ=QP}\end{array}\right.$，
∴△ABQ≌△QDP，
∴BQ=DP，∠B=∠D=60°，
∴DC=DP，
∴△DCP為等邊三角形，
∴∠PCD=60°，
∴∠PCD=∠B，
∴PC∥AB．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸�條件．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)．構(gòu)造△QPD與△ABQ全等是解決此題的關(guān)鍵．