Question

10．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x²+（k-1）x-k與直線y=kx+1交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)．
（1）如圖1，當(dāng)k=1時(shí)，直接寫出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）在（1）的條件下，點(diǎn)P為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在直線AB下方，試求出△ABP面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖2，拋物線y=x²+（k-1）x-k（k＞0）與x軸交于點(diǎn)C、D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)），拋物線在x軸下方的部分沿x軸翻折得到與原拋物線剩余的部分組成如圖所示的圖形，若直線y=kx+1與這個(gè)圖形只有兩個(gè)公共點(diǎn)，請(qǐng)求出此時(shí)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將k=1代入拋物線解析式和直線解析式，聯(lián)立方程組，即可求出交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；
（2）過點(diǎn)P做y軸平行線，將三角形ABP分割成兩個(gè)小三角形，以PF為底，則兩個(gè)三角形高的和為AB兩點(diǎn)的水平距離，即可求出三角形面積；
（3）將圖形折疊，求出直線與翻折后的拋物線相切的情況，聯(lián)立方程組，求出k值，結(jié)合k＞0，即可求出k的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)k=1時(shí)，拋物線的解析式為y=x²-1，直線的解析式為y=x+1，
聯(lián)立直線與拋物線，得：
$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y={x}^{2}-1}\end{array}\right.$，
解得x₁=-1，x₂=2，
當(dāng)x=-1時(shí)，y-x+1=0；當(dāng)x=2時(shí)，y=x+1=3，
∴A（-1，0），B（2，3）；

（2）設(shè)P（x，x²-1）如下圖，

過點(diǎn)P作PF∥y軸，交直線AB于F，
則F（x，x+1），
PF=y_F-y_P=（x+1）-（x²-1）=-x²+x+2，
S_△ABP=S_△PFA+S_△PFB=$\frac{1}{2}$PF（x_F-x_A）+$\frac{1}{2}$PF（x_B-x_F）$\frac{3}{2}$PF，
S_△ABP=$\frac{3}{2}$（-x²+x+2）=-$\frac{3}{2}$（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{27}{8}$
∵當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時(shí)，y_P=（$\frac{1}{2}$）²-1=-$\frac{3}{4}$，
∴△ABP面積的最大值為$\frac{27}{8}$，
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)（$\frac{1}{2}$，-$\frac{3}{4}$）；

（3）如下圖：

令二次函數(shù)y=0，
x²+（k-1）x-k=0，
即：（x+k）（x-1）=0，
x=-k，或x=1，
C（-k，0），D（1，0），
直線y=kx+1過（0，1），
將拋物線y=x²+（k-1）x-k關(guān)于x軸對(duì)稱，
得：y=-x²-（k-1）x+k
聯(lián)立直線y=kx+1，得：
x²+（2k-1）x+1-k=0
△=（2k-1）²-4（1-k）=0
得：k=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（舍）或k=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵k＞0，
∴0＜k＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵直線y=kx+1經(jīng)過點(diǎn)C（-1，0）時(shí)，k=1，
∴由圖象可知，0＜k＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$或k＞1時(shí)，直線y=kx+1與這個(gè)圖形只有兩個(gè)公共點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 題目考查了二次函數(shù)綜合應(yīng)用，通過對(duì)直線、拋物線解析式的求解，結(jié)合三角形面積的求解及直線與拋物線的位置關(guān)系，可以提高學(xué)生的綜合壓軸題的水平．