Question

如圖，已知直徑與等邊△ABC的高相等的圓O分別與邊AB、BC相切于點(diǎn)D、E，邊AC過圓心O與圓O相交于點(diǎn)F、G．
（1）求證：DE∥AC；
（2）若△ABC的邊長(zhǎng)為a，求△ECG的面積．

Answer 1

解：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=60°，∠C=60°；
∵AB、BC是圓O的切線，D、E是切點(diǎn)，
∴BD=BE，
∴∠BDE=60°，∠A=60°，有DE∥AC．

（2）分別連接OD、OE，作EH⊥AC于點(diǎn)H．
∵AB、BC是圓O的切線，D、E是切點(diǎn)，O是圓心，
∴∠ADO=∠OEC=90°，OD=OE，AD=EC．
∴△ADO≌△CEO，有AO=OC=a．
∵圓O的直徑等于△ABC的高，得半徑OG=，
∴CG=OC+OG=a+，
∵EH⊥OC，∠C=60°，
∴∠COE=30°，EH=；
∵S_△ECG=CG•EH=（）•，
∴．
分析：（1）由△ABC是等邊三角形可知∠B、∠C的度數(shù)，又因AB、BC是圓O的切線，D、E是切點(diǎn)，可知BD=BE，故可以證明兩直線平行．
（2）分別連接OD、OE，作EH⊥AC于點(diǎn)H，由題意知條件可求出AO=OC，由圓O的直徑等于△ABC的高，得半徑OG，進(jìn)而求出CG，EH，
有三角形面積公式求出數(shù)值．
點(diǎn)評(píng)：本題是一道綜合性很強(qiáng)的習(xí)題，考查到切線的性質(zhì)，全等三角形的判斷，等邊三角形的性質(zhì)等，是一道很不錯(cuò)的題．