Question

2．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E，使CE=AD，連接AE交CD于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作AE的垂線交BC于點(diǎn)P，連接PA．
（1）圖中有無全等三角形？如有，請(qǐng)你寫出來；
（2）求證：PA=PE．

Answer 1

分析 （1）利用平行線的性質(zhì)得到∠D=∠ECF，∠DAF=∠E，則可利用“ASA”判斷△ADF≌△ECF；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得AF=EF，再利用垂直得到∠AFP=∠EFP=90°，然后根據(jù)“SAS”可判斷△AFP≌△EFP，
即圖中有兩對(duì)三角形全等，它們是：△ADF≌△ECF；△AFP≌△EFP；
（2）直接根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到結(jié)論．

解答 （1）解：∵AD∥BC，
∴∠D=∠ECF，∠DAF=∠E，
在△ADF和△ECF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAF=∠E}\\{AD=EC}\\{∠D=∠ECF}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△ECF；
∴AF=EF，
∵PF⊥AE，
∴∠AFP=∠EFP=90°，
在△AFP和△EFP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=EF}\\{∠AFP=∠EFP}\\{PF=PF}\end{array}\right.$，
∴△AFP≌△EFP，
即圖中有兩對(duì)三角形全等，它們是：△ADF≌△ECF；△AFP≌△EFP；
（2）證明：∵△AFP≌△EFP，
∴PA=PE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形；在應(yīng)用全等三角形的性質(zhì)時(shí)主要是得到對(duì)應(yīng)角相等或?qū)��?yīng)線段相等．