Question

14．如圖，已知☉O的直徑AB=8，過A、B兩點作☉O的切線AD、BC．
（1）當AD=2，BC=8時，連接OC、OD、CD．
①求△COD的面積．
②試判斷直線CD與☉O的位置關系，并說明理由．
（2）若直線CD與☉O相切于點E，設AD=x（x＞0），試用含x的式子表示四邊形ABCD的面積S，并探索S是否存在最小值，寫出探索過程．

Answer 1

分析 （1）①利用已知結合梯形面積以及三角形面積求法得出答案；
②過點O作OF⊥CD于F，得出OF的長，再利用切線的判定方法得出答案；
（2）利用勾股定理得出y與x之間的關系，再利用一元二次方程根的判別式得出S的最值．

解答 解：（1）①由題意可得：
∵S_梯形ABCD=$\frac{1}{2}$（AD+BC）•AB=40，S_△AOD=$\frac{1}{2}$AD•AO=4，
S_△BOC=$\frac{1}{2}$BC•BO=16，
∴S_△COD=40-4-16=20；

②直線CD與☉O相切，
理由如下：過點D作DE⊥BC于E，則四邊形ABED是矩形
∴DE=AB=8，BE=AD=2
∴CE=6
在Rt△CDE中，CD=$\sqrt{D{E}^{2}+C{E}^{2}}$=10，
過點O作OF⊥CD于F，則S_△COD=$\frac{1}{2}$CD•OF=20，
解得：OF=4，
即OF=$\frac{1}{2}$AB，
故直線CD與☉O相切；

（2）設BC=y，則CD=x+y，CE=|y-x|，
在Rt△DCE中，DC²-CE²=DE²，
即（x+y）²-（y-x）²=64，
則y=$\frac{64}{x}$（x＞0），
∴S=$\frac{1}{2}$（AD+BC）•AB
=$\frac{1}{2}$（x+$\frac{16}{x}$）×8
=4x+$\frac{64}{x}$（x＞0），
故4x²-Sx+64=0（x＞0），
∵該方程是關于x的一元二次方程，且此方程一定有解，
∴△=S²-1024≥0，
根據(jù)二次函數(shù)解得：S≥32或S≤-32（負值舍去），
∴S≥32，
∴S有最小值，最小值為32．

點評 此題主要考查了圓的綜合以及一元二次方程根的判別式和切線的判定、勾股定理等知識，正確掌握切線的判定方法作出輔助線是解題關鍵．