Question

已知拋物線y=px²+x+q（pq≠0）與x軸交于兩點(diǎn)A（x₁，0），B（x₂，0），與y軸交于點(diǎn)C，問△ABC能否成為直角三角形？如果能，請給出pq應(yīng)滿足的條件，并加以證明；如果不能，請說明理由．

Answer 1

解：當(dāng)pq=-1時，能成為直角三角形．
理由：∵拋物線y=px²+x+q（pq≠0）與x軸交于兩點(diǎn)A（x₁，0），B（x₂，0），
∴AB=|x₁-x₂|，
∴x₁+x₂=-，x₁•x₂=，
假設(shè)△ABC能構(gòu)成為直角三角形，則x₁•x₂＜0，即＜0，
由拋物線y=px²+x+q（pq≠0）可知，C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，q），
∴AC²+BC²=AB²，即x₁²+2q²+x₂²=（x₁-x₂）²，q²=-x₁•x₂=-，
∵＜0，
∴-＞0，
∴q²=-x₁•x₂=-有意義，
∴pq=-1．
故能構(gòu)成為直角三角形，應(yīng)滿足pq=-1．
分析：先由根與系數(shù)的關(guān)系得出x₁+x₂=-，x₁•x₂=，再假設(shè)△ABC能構(gòu)成為直角三角形，則x₁•x₂＜0，即＜0，根據(jù)勾股定理可得出q²=-，即pq=-1．
點(diǎn)評：本題考查的是拋物線與x軸的交點(diǎn)、根與系數(shù)的關(guān)系及勾股定理，能根據(jù)題意判斷出＜0是解答此題的關(guān)鍵．