【題目】如圖,在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,P是△ABC內(nèi)一點,PA=1,PB=3,PC=.求∠CPA的度數(shù).
【答案】135°
【解析】由于△ABC為等腰直角三角形,AB=AC,則把△APB繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)90°可得到△AP′C,連PP′,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠P′AP=90°,P′A=PA=1,P′C=PB=3,得到△PAP′為等腰直角三角形,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得P′P=PA=,∠APP′=45°,在△P′PC中,可得到PC2+P′P2=P′C2,根據(jù)勾股定理的逆定理得到△P′PC為直角三角形,∠CPP′=90°,利用∠CPA=∠CPP′+∠APP′進行計算即可.
∵△ABC為等腰直角三角形,AB=AC,
∴把△APB繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)90°可得到△AP′C,連PP′,如圖,
∴∠P′AP=90°,P′A=PA=1,P′C=PB=3,
∴△PAP′為等腰直角三角形,
∴P′P=PA=,∠APP′=45°,
在△P′PC中,P′C=3,P′P=,PC=,
∵()2+()2=32,
∴PC2+P′P2=P′C2,
∴△P′PC為直角三角形,∠CPP′=90°,
∴∠CPA=∠CPP′+∠APP′=90°+45°=135°.
“點睛”本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì):旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等;對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等;對應點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.也考查了勾股定理的逆定理以及等腰直角三角形的判定與性質(zhì).
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】隨著紀錄片《穹頂之下》的播出,全社會對空氣污染問題越來越重視,空氣凈化器的銷量也逐步增大.某商場從廠家購進了A,B兩種型號的空氣凈化器,已知一臺A型空氣凈化器的進價比一臺B型空氣凈化器的進價多300元,用7 500元購進A型空氣凈化器和用6 000元購進B型空氣凈化器的臺數(shù)相同.
(1)求一臺A型空氣凈化器和一臺B型空氣凈化器的進價各為多少元?
(2)經(jīng)市場調(diào)查,當B型空氣凈化器的售價為1800元時,每天可賣出4臺,在此基礎上,售價每降低50元,每天將多售出1臺,如果每天商場銷售B型空氣凈化器的利潤為3200元,請問該商場應將B型空氣凈化器的售價定為多少元?
(3)已知A型空氣凈化器凈化能力為340m3/h,B型空氣凈化器凈化能力為240m3/h.某公司室內(nèi)辦公場地總面積為600m2,室內(nèi)墻高3.5m.受二胎政策影響,近期孕婦數(shù)量激增,為保證胎兒健康成長,該公司計劃購買15臺空氣凈化器凈化空氣,每天花費30分鐘將室內(nèi)空氣凈化一新,若不考慮空氣對流等因素,該公司至少要購買A型空氣凈化器多少臺?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知,在矩形ABCD中,AB=a,BC=b,動點M從點A出發(fā)沿邊AD向點D運動(點M與點A、點D不重合).
(1)如圖1,當b=2a,點M運動到邊AD的中點時,請證明∠BMC=90°;
(2)如圖2,當a=2,b=5,求點M運動到什么位置時,∠BMC=90°;
(3)如圖3,在第(2)問的條件下,若另一動點N從點C出發(fā)沿邊C→M→B運動,且點M、點N的出發(fā)時間與運動速度都相同,過點N作AD和垂線交AD于點H,當△MNH與△MBC相似時,求MH的長.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】儀征市某活動中心組織一次少年跳繩比賽,各年齡組的參賽人數(shù)如表所示:
年齡組 | 12歲 | 13歲 | 14歲 | 15歲 |
參賽人數(shù) | 5 | 19 | 13 | 13 |
則全體參賽選手年齡的中位數(shù)是歲.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】小華在“科技創(chuàng)新大賽”中制作了一個創(chuàng)意臺燈作品,現(xiàn)忽略支管的粗細,得到它的側(cè)面簡化結(jié)構圖如圖所示.已知臺燈底部支架CD平行于水平面,F(xiàn)E⊥OE,GF⊥EF,臺燈上部可繞點O旋轉(zhuǎn),OE=20cm,EF=20cm.
(1)如圖1,若將臺燈上部繞點O逆時針轉(zhuǎn)動,當點G落在直線CD上時,測量得∠EOG=65°,求FG的長度(結(jié)果精確到0.1cm);
(2)將臺燈由圖1位置旋轉(zhuǎn)到圖2的位置,若此時F,O兩點所在的直線恰好與CD垂直,求點F在旋轉(zhuǎn)過程中所形成的弧的長度.(參考數(shù)據(jù):sin65°≈0.91,cos65°≈0.42,tan65°≈2.14,≈1.73,可使用科學計算器)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】觀察如圖所示的圖形,并閱讀相關文字信息后回答下列問題:
2條直線相交,最多有1個交點;3條直線相交,最多有3個交點;4條直線相交,最多有6個交點.
(1)8條直線相交,最多有幾個交點?
(2)設有n條直線相交,最多有y個交點,請用含n的代數(shù)式表示y.
(3)當最多交點個數(shù)為4950時,此時直線有幾條?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】以下四組木棒中,哪一組的三條能夠剛好做成直角三角形的木架( )
A. 7 cm,12 cm,15 cm B. 7 cm,12 cm,13 cm
C. 8 cm,15 cm,16 cm D. 3 cm,4 cm,5 cm
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