Question

小明和同桌小聰在課后做作業(yè)時(shí)，對(duì)課本中的一道作業(yè)題，進(jìn)行了認(rèn)真探索．

【作業(yè)題】如圖1，一個(gè)半徑為100m的圓形人工湖如圖所示，弦AB是湖上的一座橋，測得圓周角∠C=45°，求橋AB的長．
小明和小聰經(jīng)過交流，得到了如下的兩種解決方法：
方法一：延長BO交⊙O與點(diǎn)E，連接AE，得 Rt△ABE，∠E=∠C，∴AB=100

2

；
方法二：作AB的弦心距OH，連接OB，∴∠BOH=∠C，解Rt△OHB，∴HB=50

2

，
∴AB=100

2

．
感悟：圓內(nèi)接三角形的一邊和這邊的對(duì)銳角、圓的半徑（或直徑）這三者關(guān)系，可構(gòu)成直角三角形，從而把一邊和這邊的對(duì)銳角﹑半徑建立一個(gè)關(guān)系式．
（1）問題解決：受到（1）的啟發(fā)，請(qǐng)你解下面命題：
如圖2，點(diǎn)A（3，0）、B（0，-3

3

），C為直線AB上一點(diǎn)，過A、O、C的⊙E的半徑為2．求線段OC的長．
（2）問題拓展：如圖3，△ABC中，∠ACB=75°，∠ABC=45°，AB=2

2

，D是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以AD為直徑畫⊙O分別交AB，AC于E，F(xiàn)，連結(jié)EF，設(shè)⊙O半徑為x，EF為y．
①y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；②求線段EF長度的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）先根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出∠OAB的度數(shù)，延長OE交⊙O于點(diǎn)F，連接CF，根據(jù)圓周角定理可得出∠F=∠OAB=60°，再由銳角三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論；
（2）①先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠BAC=60°，延長EO交⊙O于點(diǎn)G，連接GF，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論；
②作AH⊥BC于點(diǎn)H，根據(jù)勾股定理求出AH的長，再根據(jù)AD=EG=2x得出x的取值范圍，進(jìn)而得出結(jié)論．

解答：解：（1）∵tan∠OAB=

OB

OA

=

3

，
∴∠OAB=60°，
延長OE交⊙O于點(diǎn)F，連接CF，
∴∠F=∠OAB=60°，
∴OC=2

3

；

（2）①∵∠ACB=75°，∠ABC=45°，
∴∠BAC=60°，
如圖3，延長EO交⊙O于點(diǎn)G．連接GF，
∴y=

3

x；

②如圖3，作AH⊥BC于點(diǎn)H，
∵Rt△ABH中，∠ABC=45°，AB=2

2

，
∴AH=2，
∵AD=EG=2x，
∴2≤AD≤2

2

，即1≤x≤

2

，
∴y的最小值為

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是圓的綜合題，涉及到圓周角定理、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，難度適中．