Question

2．如圖，在矩形ABCD中，AD=3，AB=6，E為CD邊中點，F(xiàn)為AD上一點，以AF為邊作正方形AFGH，使正方形AFGH和矩形ABCD在AD的同側，且正方形AFGH的頂點G恰好落在對角線BD上，將正方形AFGH以每秒一個單位的速度沿射線AB方向平移，記平行中的正方形AFGH為正方形A′FGH，當點A′與點B重合時停止運動，設運動的時間為t（t≥0）．
（1）求正方形AFGH的邊長；
（2）在平移過程中，設正方形A′FGH與△DEB重疊部分的面積為S，請直接寫出S與運動時間t之間的函數(shù)關系式，并寫出相應的t的取值范圍；
（3）在平移過程中，正方形A′FGH的邊GH與對角線BD交于點M，邊接A′M、A′E、EM，是否存在時間t，使△A′EM為等腰直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由△DFG∽△DAB，得$\frac{FG}{AB}=\frac{DF}{AD}$，列出方程即可解決．
（2）有三種情形：當0＜t≤2時如圖1，由△MGN∽△BAD，求出MG、GN即可解決．②當2＜t≤4時如圖2，根據s=S_{四邊形FGNM}-S_△PGK即可解決．③當4＜t≤6時如圖3中，根據s=s_△BMK，求出MK即可解決．
（3）存在，如圖4中，延長HG交CD于N，利用△EMN≌△MA′H，求出MH，HB即可解決問題．

解答 解：（1）∵四邊形AFGH是正方形，
∴FG∥AB，
∴△DFG∽△DAB，
∴$\frac{FG}{AB}=\frac{DF}{AD}$，
設正方形AFGH的邊長為x，則FG=AF=x，
∴DF=AD-AF=3-x，
∴$\frac{x}{6}=\frac{3-x}{3}$，
解得：x=2，
∴正方形AFGH的邊長為2．
（2）如圖1中，延長FG交EB于P，F(xiàn)G與BD交于點M，GH與BD交于點N，
∵PM∥DE，
∴$\frac{PM}{DE}=\frac{BM}{BD}=\frac{AF}{AD}=\frac{2}{3}$，
∴PM=2，
①當0＜t≤2時，∵∠GMN=∠ABD，∠MGN=∠DAB=90°，
∴△MGN∽△BAD，
∴$\frac{MG}{AB}=\frac{GN}{AD}$，
∴GM=$\frac{1}{2}MG$=$\frac{1}{2}$t，
∴s=$\frac{1}{2}$•t•$\frac{1}{2}$t=$\frac{1}{4}$t²，
②當2＜t≤4時，如圖2中，F(xiàn)M=$\frac{1}{2}$（t-2），
∵NH∥AD，
∴$\frac{NH}{AD}=\frac{BH}{BA}$，
∴$\frac{NH}{3}=\frac{4-t}{6}$，
∴NH=$\frac{1}{2}（4-t）$，NG=2-NH=$\frac{t}{2}$，
∵EC=BC，∠C=90°，
∴∠CEB=∠EBC=∠HBK=45°，
∴∠HKB=∠PKG=∠KPG=45°，
∴KH=BH，GK=2-BH=t-2，
∴s=S_{四邊形FGNM}-S_△PGK=$\frac{1}{2}$[$\frac{1}{2}$（t-2）+$\frac{1}{2}t$]•2-$\frac{1}{2}$（t-2）²=-$\frac{1}{2}$t²+3t-3．
③當4＜t≤6時，如圖3中，∵A′B=A′K=6-t，A′M=$\frac{1}{2}$A′B=$\frac{1}{2}$（6-t），
∴s=$\frac{1}{2}$[（6-t）-$\frac{1}{2}$（6-t）]（6-t）=$\frac{1}{4}$（6-t）²．
（3）存在，如圖4中，延長HG交CD于N，
∵CD∥BA，NH⊥AB，
∴NH⊥CD，∠ENH=90°，
∵ME=MA′，∠EMA′=90°，
∴∠A′MH+∠EMN=90°，∠EMN+∠MEN=90°，
∴∠A′MH=′MEN，
在△A′HM和△MNE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ENM=∠A′HM}\\{∠MEN=∠A′MH}\\{EM=A′M}\end{array}\right.$，
∴△EMN≌△MA′H，
∴MN=A′H=2，HM=HN-MN=1，
∴BH=2HM=2，
∴t+2+2=6，
∴t=2．
∴t=2時，△A′EM為等腰直角三角形．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質、相似三角形的判定和性質、正方形的性質、矩形的性質等知識，解題的關鍵是正確確定自變量的取值范圍，畫出圖形，在解題中要善于利用全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．