Question

在直角坐標系中，⊙A的半徑為4，圓心A的坐標為（2，0），⊙A與x軸交于E、F兩點，與y軸交于C、D兩點，過點C作⊙A的切線BC，交x軸于點B．
（1）求直線CB的解析式；
（2）若拋物線y=ax²+bx+c的頂點在直線BC上，與x軸的交點恰為點E、F，求該拋物線的解析式；
（3）試判斷點C是否在拋物線上；
（4）在拋物線上是否存在三個點，由它構成的三角形與△AOC相似？直接寫出兩組這樣的點．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AC，由Rt△AOC∽Rt△COB?，求得OB的長，即可得出確定B點坐標，進而可根據B、C坐標用待定系數法求得BC直線的解析式．
（2）根據圓心的坐標及圓的半徑不難得出E、F的坐標．根據拋物線和圓的對稱性可知：拋物線頂點和圓心的橫坐標必相等，據此可根據直線BC的解析式求出拋物線的頂點坐標．然后根據E、F及頂點坐標求出拋物線的解析式．
（3）在（1）中已經求得C點坐標，將C點坐標代入拋物線的解析式中進行判斷即可．
（4）在（1）中已經求得∠OAC=60°，∠OCA=30°，如果連接CF，那么∠CFE=∠OAC=30°，由于E、F同在拋物線上，因此連接CE后，三角形CEF就與三角形OAC相似．那么C、E、F就是符合條件的點．而根據拋物線的對稱性可知，C點關于拋物線對稱軸的對稱點和E、F組成的直角三角形也應該符合條件．
解答：解：（1）方法一：
連接AC，則AC⊥BC．
∵OA=2，AC=4，
∴OC=．
又∵Rt△AOC∽Rt△COB，
∴．
∴OB=6．
∴點C坐標為（0，2），點B坐標為（-6，0）．
設直線BC的解析式為y=kx+b，
可求得直線BC的解析式為y=x+2．
方法二：
連接AC，則AC⊥BC．
∵OA=2，AC=4，
∴∠ACO=30°，∠CAO=60°．
∴∠CBA=30°．
∴AB=2AC=8．
∴OB=AB-AO=6．
以下同證法一．

（2）由題意得，⊙A與x軸的交點分別為E（-2，0）、F（6，0），拋物線的對稱軸過點A為直線x=2．
∵拋物線的頂點在直線BC上，
∴拋物線頂點坐標為（2，）．
設拋物線解析式為y=a（x-2）²+，
∵拋物線過點E（-2，0），
∴0=a（-2-2）²+，
解得a=-．
∴拋物線的解析式為y=-（x-2）²+，
即y=-x²+x+2．

（3）點C在拋物線上．因為拋物線與y軸的交點坐標為（0，2），如圖．

（4）存在，這三點分別是E、C、F與E、C′、F，C′的坐標為（4，）．
即△ECF∽△AOC、△EC′F∽△AOC，如圖．
點評：本題考查了圓的相關知識、二次函數解析式的確定、相似三角形的判定和性質等知識點．