Question

6．如圖，在?ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O與AD上的一點(diǎn)E作直線OE，交BA的延長線于點(diǎn)F．若AD=4，DC=3，AF=2，則AE的長是（　�。�

• A． $\frac{7}{8}$
• B． $\frac{8}{5}$
• C． $\frac{8}{7}$
• D． $\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 延長FO，交BC于點(diǎn)G．由平行四邊形的性質(zhì)得出OD=OB，AD∥BC，AB=DC=3，根據(jù)ASA證明△DOE≌△BOG，得出DE=BG．再由AE∥BG，得出△AEF∽△BGF，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得出$\frac{AE}{BG}$=$\frac{AF}{BF}$=$\frac{2}{5}$，設(shè)AE=2x，則BG=5x，DE=BG=5x，根據(jù)AE+DE=AD=4，求出x=$\frac{4}{7}$，那么AE=2x=$\frac{8}{7}$．

解答 解：如圖，延長FO，交BC于點(diǎn)G．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OD=OB，AD∥BC，AB=DC=3，
∴∠EDO=∠GBO，又∠DOE=∠BOG，
∴△DOE≌△BOG（ASA）．
∴DE=BG．
∵AE∥BG，
∴△AEF∽△BGF，
∴$\frac{AE}{BG}$=$\frac{AF}{BF}$，即$\frac{AE}{BG}$=$\frac{2}{2+3}$=$\frac{2}{5}$，
設(shè)AE=2x，則BG=5x，
∴DE=BG=5x，
∵AE+DE=AD=4，
∴2x+5x=4，
∴x=$\frac{4}{7}$，
∴AE=2x=$\frac{8}{7}$．
故選C．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，準(zhǔn)確作出輔助線構(gòu)造全等三角形，是解題的關(guān)鍵．