Question

15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+2x-2+m的頂點為P，點A（m，0）在x軸正半軸上，點C（0，6-m）在y軸正半軸上，以O(shè)A、OC為邊作矩形OABC．
（1）點P的坐標(biāo)為（2，m）（用含m的代數(shù)式表示）；
（2）當(dāng)點P在BC邊上時，求對應(yīng)的拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（3）點B是否會落在拋物線的下方，請說明理由；
（4）直接寫出矩形OABC的各邊與拋物線共有2個公共點時m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)配方法，可得頂點坐標(biāo)；
（2）根據(jù)P在BC上，可得關(guān)于m的方程，根據(jù)解方程，可得答案；
（3）根據(jù)自變量的值，可得相應(yīng)的函數(shù)值；根據(jù)線段的和差，可得答案；
（4）根據(jù)圖象與拋物線的交點大于一個小于三個時，可得不等式組，根據(jù)拋物線過點B、C，可得m點的在范圍．

解答 解：（1）y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+2x-2+m=-$\frac{1}{2}$（x-2）²+m，
頂點P的坐標(biāo)為（2，m），
故答案為：（2，m）；
（2）點P在BC邊上時，y_P=y_C，m=6-m，解得m=3，
對應(yīng)的拋物線的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+2x+1；
（3）如圖1，
設(shè)直線AB與拋物線的交點為D，
當(dāng)x=m時，y_D=-$\frac{1}{2}$m²+2m-2+m=-$\frac{1}{2}$m²+3m-2，
y_B-y_D=（6-m）-（-$\frac{1}{2}$m²+3m-2）=$\frac{1}{2}$m²-4m+8=$\frac{1}{2}$（m-4）²≥0，
點B不會落在拋物線的下方；
（4）
當(dāng)點A在拋物線上時，如圖2，
-$\frac{1}{2}$m²+2m-2+m=0，解得m₁=3-$\sqrt{5}$，m₂=3+$\sqrt{5}$（不符合題意，舍），
當(dāng)m=3-$\sqrt{5}$時，拋物線與矩形OABC的各邊恰好有一個交點．
當(dāng)點P落在BC上時，如圖3，
m=3，拋物線與矩形OABC的各邊恰好有三個交點．
當(dāng)3-$\sqrt{5}$＜m＜3時，矩形OABC的各邊與拋物線恰好有兩個交點．
②當(dāng)點B在拋物線上時，如圖4，
y_C-y_B=0，6-m=-$\frac{1}{2}$m²+2m-2+m，
解得m=4，此時矩形OABC的各邊與拋物線恰好有兩個交點．
∵點C（0，6-m）在y軸的正半軸上，
∴當(dāng)4≤m＜6時，矩形OABC的各邊與拋物線恰好有兩個交點．
綜上所述：矩形OABC的各邊與拋物線共有2個公共點時m的取值范圍是3-$\sqrt{5}$＜m＜3，4≤m＜6．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用配方法求函數(shù)頂點坐標(biāo)；利用平行于x軸直線上點的縱坐標(biāo)相等得出m的值是解題關(guān)鍵；利用圖象與矩形交點的個數(shù)得出不等式是解題關(guān)鍵，要分類討論，以防遺漏．