Question

15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+2x-2+m的頂點(diǎn)為P，點(diǎn)A（m，0）在x軸正半軸上，點(diǎn)C（0，6-m）在y軸正半軸上，以O(shè)A、OC為邊作矩形OABC．
（1）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，m）（用含m的代數(shù)式表示）；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上時(shí)，求對(duì)應(yīng)的拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（3）點(diǎn)B是否會(huì)落在拋物線的下方，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（4）直接寫出矩形OABC的各邊與拋物線共有2個(gè)公共點(diǎn)時(shí)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)配方法，可得頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)P在BC上，可得關(guān)于m的方程，根據(jù)解方程，可得答案；
（3）根據(jù)自變量的值，可得相應(yīng)的函數(shù)值；根據(jù)線段的和差，可得答案；
（4）根據(jù)圖象與拋物線的交點(diǎn)大于一個(gè)小于三個(gè)時(shí)，可得不等式組，根據(jù)拋物線過(guò)點(diǎn)B、C，可得m點(diǎn)的在范圍．

解答 解：（1）y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+2x-2+m=-$\frac{1}{2}$（x-2）²+m，
頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，m），
故答案為：（2，m）；
（2）點(diǎn)P在BC邊上時(shí)，y_P=y_C，m=6-m，解得m=3，
對(duì)應(yīng)的拋物線的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+2x+1；
（3）如圖1，
設(shè)直線AB與拋物線的交點(diǎn)為D，
當(dāng)x=m時(shí)，y_D=-$\frac{1}{2}$m²+2m-2+m=-$\frac{1}{2}$m²+3m-2，
y_B-y_D=（6-m）-（-$\frac{1}{2}$m²+3m-2）=$\frac{1}{2}$m²-4m+8=$\frac{1}{2}$（m-4）²≥0，
點(diǎn)B不會(huì)落在拋物線的下方；
（4）
當(dāng)點(diǎn)A在拋物線上時(shí)，如圖2，
-$\frac{1}{2}$m²+2m-2+m=0，解得m₁=3-$\sqrt{5}$，m₂=3+$\sqrt{5}$（不符合題意，舍），
當(dāng)m=3-$\sqrt{5}$時(shí)，拋物線與矩形OABC的各邊恰好有一個(gè)交點(diǎn)．
當(dāng)點(diǎn)P落在BC上時(shí)，如圖3，
m=3，拋物線與矩形OABC的各邊恰好有三個(gè)交點(diǎn)．
當(dāng)3-$\sqrt{5}$＜m＜3時(shí)，矩形OABC的各邊與拋物線恰好有兩個(gè)交點(diǎn)．
②當(dāng)點(diǎn)B在拋物線上時(shí)，如圖4，
y_C-y_B=0，6-m=-$\frac{1}{2}$m²+2m-2+m，
解得m=4，此時(shí)矩形OABC的各邊與拋物線恰好有兩個(gè)交點(diǎn)．
∵點(diǎn)C（0，6-m）在y軸的正半軸上，
∴當(dāng)4≤m＜6時(shí)，矩形OABC的各邊與拋物線恰好有兩個(gè)交點(diǎn)．
綜上所述：矩形OABC的各邊與拋物線共有2個(gè)公共點(diǎn)時(shí)m的取值范圍是3-$\sqrt{5}$＜m＜3，4≤m＜6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用配方法求函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)；利用平行于x軸直線上點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等得出m的值是解題關(guān)鍵；利用圖象與矩形交點(diǎn)的個(gè)數(shù)得出不等式是解題關(guān)鍵，要分類討論，以防遺漏．