Question

7．如圖，拋物線y=x²-2x-3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為D，問：在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使得以P為圓心的圓經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，并且與直線CD相切？若存在，求出點(diǎn)P 的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 先通過解方程x²-2x-3=0得到A（-1，0），B（3，0），再求自變量為0時(shí)的函數(shù)值得到C（0，-3），接著把解析式配成頂點(diǎn)式得到D（1，-4），拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，作PH⊥CD于H，CE⊥直線x=1于E，如圖，易得△CDE為等腰直角三角形，則∠CDE=45°，再判斷△PHD為等腰直角三角形得到PH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PD，根據(jù)切線的判定方法，當(dāng)PA=PB=PH時(shí)，以P為圓心的圓經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，并且與直線CD相切，設(shè)此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，m），則PD=m+4，則PH²=$\frac{1}{2}$（m+4）²，而PA²=（1+1）²+m²，于是得到$\frac{1}{2}$（m+4）²=（1+1）²+m²，然后解方程求出m的值即可得到滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：存在．
當(dāng)y=0時(shí)，x²-2x-3=0，解得x₁=-1，x₂=-3，則A（-1，0），B（3，0），
當(dāng)x=0時(shí)，y=x²-2x-3=-3，則C（0，-3），
y=x²-2x-3=（x-1）²-4，則D（1，-4），拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，
作PH⊥CD于H，CE⊥直線x=1于E，如圖，
∵CE=1，DE=-3-（-4）=1，
∴△CDE為等腰直角三角形，
∴∠CDE=45°，
∴△PHD為等腰直角三角形，
當(dāng)PA=PB=PH時(shí)，以P為圓心的圓經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，并且與直線CD相切，
設(shè)此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，m），則PD=m+4，
∵PH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PD，
∴PH²=$\frac{1}{2}$（m+4）²，
而PA²=（1+1）²+m²，
∴$\frac{1}{2}$（m+4）²=（1+1）²+m²，
∴m=4-2$\sqrt{6}$或m=4+2$\sqrt{6}$（舍去），
∴滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4-2$\sqrt{6}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．也考查了切線的判定和等腰三角形的性質(zhì)．