Question

已知：關于x的方程x²-（k+2）x+2x=0
（1）求證：無論取任何實數(shù)值，方程總有實數(shù)根；
（2）若等腰三角形ABC的一邊長a=1，另兩邊長b，c恰好是這個方程的兩個根，求△ABC的周長．

Answer 1

分析：（1）先計算出△=（k+2）²-4•2k=（k-2）²，然后根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)和根的判別式的意義判斷方程根的情況；
（2）分類討論：當b=c時，△=0，則k=2，再把k代入方程，求出方程的解，然后計算三角形周長；當b=a=1或c=a=1時，把x=1代入方程解出k=1，再解此時的一元二次方程，然后根據(jù)三角形三邊的關系進行判斷．

解答：（1）證明：△=（k+2）²-4•2k
=（k-2）²，
∵（k-2）²≥0，即△≥0，
∴無論取任何實數(shù)值，方程總有實數(shù)根；
（2）解：當b=c時，△=（k-2）²=0，則k=2，
方程化為x²-4x+4=0，解得x₁=x₂=2，
∴△ABC的周長=2+2+1=5；
當b=a=1或c=a=1時，
把x=1代入方程得1-（k+2）+2k=0，解得k=1，
方程化為x²-3x+2=0，解得x₁=1，x₂=2，
不符合三角形三邊的關系，此情況舍去，
∴△ABC的周長為5．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0，方程沒有實數(shù)根．也考查了三角形三邊的關系．