Question

已知△ABC的三邊a、b、c，其中a、b是關(guān)于x的方程x²-（c+6）x+6c+18=0的兩個根．
（1）試判斷△ABC的形狀；
（2）若

a

b

=

3

4

，求△ABC的三邊長．

Answer 1

考點：一元二次方程的應(yīng)用,勾股定理,勾股定理的逆定理

專題：

分析：（1）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系推知c²=a²+b²，則由勾股定理的逆定理判定△ABC是直角三角形；
（2）由（1）知∠C=90°，根據(jù)正弦函數(shù)的定義得sinA=

a

c

，將它代入已知條件25a•sinA=9c，可得a=

3

5

c，再由勾股定理，得b=

4

5

c，然后把它們代入a+b=4+c，即可求出c的值，進而求出a、b的值．

解答：解：（1）∵a、b是關(guān)于x的方程x²-（4+c）x+4c+8=0的兩個實數(shù)根，
∴a+b=4+c ①，
ab=4c+8 ②，
將①兩邊平方，得（a+b）²=（4+c）²，
∴a²+2ab+b²=16+8c+c²，
將②代入上式，得a²+2（4c+8）+b²=16+8c+c²，
整理，得a²+b²=c²，
∴∠C=90°，△ABC是直角三角形；

（2）∵25a•sinA=9c，sinA=

a

c

，
∴25a•

a

c

=9c，
∴5a=3c，a=

3

5

c，
由勾股定理，得b=

c2-a2

=

4

5

c．
∵a+b=4+c，
∴

3

5

c+

4

5

c=4+c，
解得c=10，
∴a=6，b=8．
故a、b、c的值分別為6，8，10．

點評：本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，勾股定理的逆定理，三角函數(shù)，綜合性較強，難度適中．