Question

6．如圖，已知菱形ABCD的邊長為6cm，∠B=60°，E、F是BC、CD上的兩個動點，且∠EAF=60°，試判斷四邊形AECF的面積是否變化？不變請求值．

Answer 1

分析 先根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AB=BC=CD=AD，∠D=∠B=60°，進(jìn)而求證△ABC、△ACD為等邊三角形，得∠4=60°，AC=AB，進(jìn)而求證△ABE≌△ACF，那么S_△ABE=S_△ACF，然后根據(jù)S_{四邊形AECF}=S_△AEC+S_△ACF=S_△AEC+S_△ABE=S_△ABC即可解題．

解答 解：四邊形AECF的面積不變化．理由如下：
如圖，連接AC，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，∠D=∠B=60°，
∴△ABC、△ACD為等邊三角形，
∴∠1+∠2=60°，∠4=60°，AC=AB，
∵∠EAF=∠3+∠2=60°，
∴∠1=∠3．
在△ABE和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠3}\\{AB=AC}\\{∠B=∠4}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴S_△ABE=S_△ACF，
∴S_{四邊形AECF}=S_△AEC+S_△ACF=S_△AEC+S_△ABE=S_△ABC，是定值．
作AH⊥BC于H點，
在直角△ABH中，∵∠B=60°，
∴∠BAH=30°，
∴BH=$\frac{1}{2}$AB=3cm，AH=$\sqrt{3}$BH=3$\sqrt{3}$cm，
∴S_{四邊形AECF}=S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AH=$\frac{1}{2}$×6×3$\sqrt{3}$=9$\sqrt{3}$（cm²）．

點評 本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，三角形面積的計算，本題中求證△ABE≌△ACF是解題的關(guān)鍵．