Question

已知：如圖所示，直線(xiàn)l的解析式為y=

3

4

x-3，并且與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B．
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）半徑為0.75的⊙O₁，以0.4個(gè)單位/秒的速度從原點(diǎn)向x軸正方向運(yùn)動(dòng)，問(wèn)在什么時(shí)刻與直線(xiàn)l相切；
（3）在第（2）題的條件下，在⊙O₁運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，與之大小相同的⊙O₂從點(diǎn)B出發(fā)，沿BA方向運(yùn)動(dòng)，兩圓經(jīng)過(guò)的區(qū)域重疊部分是什么形狀的圖形？并求出其面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直線(xiàn)l的解析式為y=

3

4

x-3直接求出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（2）當(dāng)圓與直線(xiàn)相切時(shí)，根據(jù)直線(xiàn)1與x軸的角度可求出圓心坐標(biāo)，然后再求出時(shí)間t．
（3）兩圓經(jīng)過(guò)的區(qū)域重疊部分為菱形，根據(jù)菱形面積公式即可求得面積．

解答：解：（1）直線(xiàn)l的解析式為y=

3

4

x-3，并且與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B．
當(dāng)y=0時(shí)，x=4，
當(dāng)x=0時(shí)，y=-3，
故A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（4，0）B（0，-3）；

（2）若動(dòng)圓的圓心在C處時(shí)與直線(xiàn)l相切，設(shè)切點(diǎn)為D，
∵A（4，0）B（0，-3），
∴AB=

32+42

=5，
如圖所示，連接CD，則CD⊥AD．由∠CAD=∠BAO，∠CDA=∠BOA=90°，
可知Rt△ACD∽R(shí)t△ABO．
∴

CD

BO

=

AC

AB

，即

0.75

3

=

AC

5

，則AC=1.25．
此時(shí)OC=4-1.25=2.75，t=

s

v

=2.75÷0.4=6.875（s）．
根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，圓C還可能在直線(xiàn)l的右側(cè)，與直線(xiàn)相切，
此時(shí)OC=4+1.25=5.25，t=

s

v

=5.25÷0.4=13.125（s）．
∴t=6.785s或t=13.125s時(shí)圓與直線(xiàn)l相切．

（3）兩圓經(jīng)過(guò)的區(qū)域重疊部分為菱形，根據(jù)題意可知菱形的邊長(zhǎng)分別為1.25，
菱形的高為0.6，故S=0.6×1.25=0.75，
兩圓經(jīng)過(guò)的區(qū)域重疊部分的面積為0.75．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，是各地中考的熱點(diǎn)，在解題時(shí)注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，同學(xué)們要加強(qiáng)訓(xùn)練，屬于中檔題．