Question

9．如圖，已知拋物線與y軸交于點(diǎn)C（0，3），與x軸交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊，且B（3，0），AB=2
（1）求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）如果拋物線的對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)P，使得△APC的周長最小，求此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出△APC周長；
（3）設(shè)D為拋物線上一點(diǎn)，E為對(duì)稱軸上一點(diǎn)，若以點(diǎn)A、B、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）先求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)式設(shè)出拋物線解析式，用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；
（2）由點(diǎn)A，B關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，所以連接BC與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)就是點(diǎn)P，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出各線段，即可；
（3）①AB為平行四邊形的邊時(shí)，就有AB∥DE，AB=DE，設(shè)出點(diǎn)D坐標(biāo)，表示出點(diǎn)E坐標(biāo)，由AB=DE求出點(diǎn)D坐標(biāo)，
②AB為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，AB，DE互相平分，而點(diǎn)E在拋物線對(duì)稱軸上，得出點(diǎn)D也在拋物線對(duì)稱軸上，即點(diǎn)D就是拋物線的頂點(diǎn)．

解答 解：（1）∵拋物線與x軸交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊，且B（3，0），AB=2，
∴A（1，0），
設(shè)拋物線解析式為y=a（x-1）（x-3），
∵點(diǎn)C在拋物線上，
∴3=a（-1）（-3）=3a，
∴a=1，
∴拋物線解析式為y=（x-1）（x-3）=x²-4x+3，
（2）如圖1，

有（1）有，拋物線解析式為y=（x-1）（x-3）=x²-4x+3，
∴拋物線的對(duì)稱軸為x=2，
連接BC，交對(duì)稱軸于點(diǎn)P，連接AP，
∵點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，
∴點(diǎn)P就是使得△APC的周長最小時(shí)，對(duì)稱軸上的點(diǎn)，即：PA=PB，
∵B（3，0），C（0，3），
∴直線BC解析式為y=-x+3，BC=3$\sqrt{2}$，
當(dāng)x=2時(shí)，y=1，
∵P（2，1），
∵A（1，0），C（0，3）
∴AC=$\sqrt{10}$，
∴△APC周長=AC+AP+CP=AC+BC=$\sqrt{10}$+3$\sqrt{2}$，
即：點(diǎn)P（2，1）時(shí)，△APC的周長最小，最小值為$\sqrt{10}$+3$\sqrt{2}$；
（3）∵以點(diǎn)A、B、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
∴分AB為對(duì)角線和邊兩種情況計(jì)算，
①當(dāng)AB為平行四邊形的邊時(shí)，AB∥DE，AB=DE，
∵點(diǎn)D在拋物線上，
∴設(shè)點(diǎn)D（m，m²-4m+3），
∵點(diǎn)E在拋物線對(duì)稱軸x=2上，
∴點(diǎn)E（2，m²-4m+3），
∵DE∥AB，
∴DE=|m-2|，
∵AB=DE，AB=2，
∴|m-2|=2，
∴m=0，或m=4，
∴D（0，3）或（4，3），
②當(dāng)AB為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，AB與DE互相平分，
∵點(diǎn)E在拋物線對(duì)稱軸上，
∴點(diǎn)D也在拋物線的對(duì)稱軸上，
即：點(diǎn)D就是拋物線的頂點(diǎn)，
由（1）得，拋物線解析式為y=（x-1）（x-3），
∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-1），
∴滿足條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，3）或（4，3）或（2，-1）．

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，對(duì)稱性，極值的確定，平行四邊形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是求出拋物線解析式，難點(diǎn)是分類討論的思想和點(diǎn)P的坐標(biāo)的確定．