Question

【題目】在一次數(shù)學(xué)探究活動(dòng)課中，某同學(xué)有一塊矩形紙片ABCD，已知AD=15，AB=9，M為線AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將△ABM沿BM折疊得到△MBN，若△NBC是直角三角形，則AM長為__________．

Answer 1

【答案】3或27

【解析】

根據(jù)四邊形ABCD為矩形以及折疊的性質(zhì)得到∠A＝∠MNB＝90°，由M為AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)可知若△NBC是直角三角形，∠NBC＝90°與∠NCB＝90°都不符合題意，只有∠BNC＝90°．然后分 N在矩形ABCD內(nèi)部與 N在矩形ABCD外部兩種情況進(jìn)行討論，利用勾股定理求得結(jié)論即可．

解：∵四邊形ABCD為矩形，

∴∠BAD＝90°，

∵將△ABM沿BM折疊得到△MBN，

∴∠MAB＝∠MNB＝90°．

∵M為射線AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，△NBC是直角三角形，

∴∠NBC＝90°與∠NCB＝90°都不符合題意，

∴只有∠BNC＝90°．

①當(dāng)∠BNC＝90°，N在矩形ABCD內(nèi)部，如圖1．

∵∠BNC＝∠MNB＝90°，

∴M、N、C三點(diǎn)共線，

∵AB＝BN＝9，BC＝15，∠BNC＝90°，

∴NC＝12，

設(shè)AM＝MN＝x，則MD＝15x，MC＝12＋x，

在Rt△MDC中，CD2＋MD2＝MC2，即92＋（15x）2＝（12＋x）2，

解得x＝3；

③當(dāng)∠BNC＝90°，N在矩形ABCD外部時(shí)，如圖2．

∵∠BNC＝∠MNB＝90°，

∴M、C、N三點(diǎn)共線，

∵AB＝BN＝9，BC＝15，∠BNC＝90°，

∴NC＝12，

設(shè)AM＝MN＝y，則MD＝y15，MC＝y12，

在Rt△MDC中，CD2＋MD2＝MC2，即92＋（y15）2＝（y12）2，

解得y＝27，

綜上，AM的長為：3或27．

故答案為：3或27．