Question

【題目】如圖1，P（m，n）是拋物線y=-1上任意一點(diǎn)，l是過(guò)點(diǎn)（0，-2）且與x軸平行的直線，過(guò)點(diǎn)P作直線PH⊥l，垂足為H．

【探究】

（1）填空：當(dāng)m=0時(shí)，OP= ，PH= ；當(dāng)m=4時(shí)，OP= ，PH= ；

【證明】

（2）對(duì)任意m，n，猜想OP與PH的大小關(guān)系，并證明你的猜想．

【應(yīng)用】

（3）如圖2，已知線段AB=6，端點(diǎn)A，B在拋物線y=-1上滑動(dòng)，求A，B兩點(diǎn)到直線l的距離之和的最小值．

Answer 1

【答案】（1）OP=1，PH=1；OP=5，PH=5．（2）OP=PH．證明見(jiàn)解析．（3）6．

【解析】

試題（1）m記為P點(diǎn)的橫坐標(biāo)．m=0時(shí)，直接代入x=0，得P（0，-1），則OP，PH長(zhǎng)易知．當(dāng)m=4時(shí)，直接代入x=4，得P（4，3），OP可有勾股定理求得，PH=yP-（-2）．

（2）猜想OP=PH．證明時(shí)因?yàn)镻為所有滿足二次函數(shù)y=-1的點(diǎn)，一般可設(shè)（m，-1）．類(lèi)似（1）利用勾股定理和PH=yP-（-2）可求出OP與PH，比較即得結(jié)論．

（3）考慮（2）結(jié)論，即函數(shù)y=-1的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離等于其到l的距離．要求A、B兩點(diǎn)到l距離的和，即A、B兩點(diǎn)到原點(diǎn)的和，若AB不過(guò)點(diǎn)O，則OA+OB＞AB=6，若AB過(guò)點(diǎn)O，則OA+OB=AB=6，所以O(shè)A+OB≥6，即A、B兩點(diǎn)到l距離的和≥6，進(jìn)而最小值即為6．

試題解析：（1）解：OP=1，PH=1；OP=5，PH=5．

如圖1，記PH與x軸交點(diǎn)為Q，

當(dāng)m=0時(shí)，P（0，-1）．此時(shí)OP=1，PH=1．

當(dāng)m=4時(shí)，P（4，3）．此時(shí)PQ=3，OQ=4，

∴OP==5，PH=yP-（-2）=3-（-2）=5．

（2）猜想：OP=PH．

證明：過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥x軸于Q，

∵P在二次函數(shù)y=-1上，

∴設(shè)P（m，-1），則PQ=|-1|，OQ=|m|，

∵△OPQ為直角三角形，

∴OP=，

PH=yP-（-2）=（-1）-（-2）=，

∴OP=PH．

（3）解：如圖2，連接OA，OB，過(guò)點(diǎn)A作AC⊥l于C，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥l于D，此時(shí)AC即為A點(diǎn)到l的距離，BD即為B點(diǎn)到l的距離．

①當(dāng)AB不過(guò)O點(diǎn)時(shí)，連接OA，OB，

在△OAB中，OA+OB＞AB=6，

由上述結(jié)論得：AC=OA，BD=OB，

∴AC+BD＞6；

②當(dāng)AB過(guò)O點(diǎn)時(shí)，AC+BD=OA+OB=AB=6，

所以AC+BD的最小值為6，

即A，B兩點(diǎn)到直線l的距離之和的最小值為6．