Question

7．如圖甲，Rt△ABC≌Rt△CDE，且∠ABC=∠EDC=90°，B，C，D三點共線，又點F為AE中點．
（1）求證：△BDF為等腰直角三角形；
（2）若B，C，D所在直線經點C旋轉成如圖乙，其他條件不變，△BDF還是等腰直角三角形嗎？說明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖甲中，延長BF交DE的延長線于M，先證明△ABF≌△MEF，再證明△BDM是等腰直角三角形，由此可以得出結論．
（2）證明方法類似（1）略．

解答 （1）證明：如圖甲中，延長BF交DE的延長線于M．
∵∠ABC=∠EDC=90°，B，C，D三點共線，
∴∠ABC+∠BDE=180°，
∴AB∥ED，
∴∠BAF=∠MEF，
在△ABF和△EMF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAF=∠MEF}\\{∠AFB=∠MFE}\\{AF=FE}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△MEF，
∴AB=ME，BF=MF
∵Rt△ABC≌Rt△CDE，
∴AB=CD，BC=DE
∴BD=DM，
∵∠BDM=90°，BF=FM，
∴FB=FD=FM，∠B=∠M=∠BDF=∠MDF=45°，
∴∠BFD=90°，
∴△FBD是等腰直角三角形．
（2）△FBD是等腰三角形．
證明如圖乙中，延長BF交DE于M
∵∠ABC=∠EDC=∠BDE=90°
∴AB∥ED，
∴∠BAF=∠MEF，
在△ABF和△EMF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAF=∠MEF}\\{∠AFB=∠MFE}\\{AF=FE}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△MEF，
∴AB=ME，BF=MF
∵Rt△ABC≌Rt△CDE，
∴AB=CD，BC=DE，
∴BC-CD=DE-EM，即BD=DM，
∵∠BDM=90°，BF=FM，
∴FB=FD=FM，∠B=∠M=∠BDF=∠MDF=45°，
∴∠BFD=90°，
∴△FBD是等腰直角三角形．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質、等腰三角形的判定和性質，解題的關鍵是添加輔助線構造全等三角形，屬于中考�？碱}型．