Question

6．如圖，等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，BD切⊙O于B，AD⊥BD于D，AD交⊙O于E，⊙O的半徑為1，則AE=1．

Answer 1

分析 作OH⊥BC，OF⊥AD，連結(jié)OB、OC、DE，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠BOC=120°，則∠OBC=30°，可計(jì)算得OH=$\frac{1}{2}$，BH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，再根據(jù)垂徑定理得BC=2BH=$\sqrt{3}$；然后根據(jù)切線的性質(zhì)得OB⊥DB，易判斷四邊形BDFO為矩形，則DF=OB=1，設(shè)AF=x，則EF=x，DE=1-x，AD=1+x，接著根據(jù)切割線定理得到BD²=1-x²，然后在Rt△ABD中利用根據(jù)定理可得到（1+x）²+1-x²=（$\sqrt{3}$）²，解得x=$\frac{1}{2}$，由此得到AE=2x=1．

解答 解：如圖所示：作OH⊥BC，OF⊥AD，連結(jié)OB、OC、DE．
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠BOC=120°．
∴∠OBC=30°．
在Rt△OBH中，OH=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{1}{2}$，
∴BH=$\sqrt{3}$OH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵OH⊥BC，
∴BH=CH．
∴BC=2BH=$\sqrt{3}$，
∴AB=$\sqrt{3}$．
∵BD切⊙O于B，
∴OB⊥DB．
∵AD⊥BD，OH⊥BC，
∴∠OBD=∠D=∠DFO=90°，且AF=EF．
∴四邊形BDFO為矩形．
∴DF=OB=1．
設(shè)AF=x，則EF=x，DE=1-x，AD=1+x，
∵BD⊙O的切線，
∴BD²=DE•DA=（1-x）（1+x）=1-x²．
在Rt△ABD中，AD²+BD²=AB²，
∴（1+x）²+1-x²=（$\sqrt{3}$）²，解得x=$\frac{1}{2}$．
∴AE=2x=1．
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．也考查了垂徑定理、勾股定理、切割線定理和等邊三角形性質(zhì)，掌握本題的輔助線的作法是解題的關(guān)鍵．