Question

如圖，在等腰三角形ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，點D、E是直線BC上兩點且CD=BE，過點C作CM⊥AE交AE于點M，交AB于點F，連接DF并延長交AE于點N．
（1）若AC=2，CD=1，求CM的值；
（2）求證：∠D=∠E．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：（1）根據(jù)題意可求AC，CE，根據(jù)勾股定理可得AB的長，再根據(jù)三角形的面積公式即可得到CM的值；
（2）過點B作BH⊥CB交CM的延長線于點H．通過ASA證明△ACE≌△CBH，得到∠E=∠H，通過SAS證明△DBF≌△HBF，得到∠D=∠H，依此即可求解．

解答：解：（1）∵CD=BE，CD=1，
∴BE=1，
又∵AC=CB=2，
∴CE=CB+BE=3，
在Rt△AEC中，AE=

22+32

=

13

，
∴CM=

6

13

=

6 13

13

；
（2）過點B作BH⊥CB交CM的延長線于點H．
∴∠HBC=∠CMA=90°，
∴∠CAM+∠ACM=90°，
∴∠ACM+∠ECM=90°
∴∠CAM=∠ECM，
又∵BH⊥CB，
∴∠CBH=90°，
在△ACE和△CBH中，

∠CAE=∠BCH AC=BC ∠ACE=∠CBH

，
∴△ACE≌△CBH（ASA），
∴CE=BH，∠E=∠H，
又∵△ABC為等腰直角三角形，
∴∠CBF=45°，
又∵∠CBH=90°，
∴∠FBH=45°，
∴∠FBH=∠CBF，
在△DBF和△HBF中，

DB=HB ∠DBF=∠HBF BF=BF

，
∴△DBF≌△HBF（SAS），
∴∠D=∠H=∠E．

點評：考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積計算，以及等腰直角三角形的性質(zhì)，綜合性較強，有一定的難度．