Question

（本小題滿分8分）

已知拋物線y＝ax²＋bx＋6與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在原點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)B在原點(diǎn)的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，且OB=OC，tan∠ACO=，頂點(diǎn)為D．

1.（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)．

2.（2）求直線CD與x軸的交點(diǎn)E的坐標(biāo).

3.（3）在此拋物線上是否存在一點(diǎn)F，使得以點(diǎn)A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

4.（4）若點(diǎn)M（2，y）是此拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)N是直線AM上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形ABMN的面積S最大? 請(qǐng)求出此時(shí)S的最大值和點(diǎn)N的坐標(biāo)．

5.（5）點(diǎn)P為此拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，若以點(diǎn)P為圓心的圓與（4）中的直線AM及x軸同時(shí)相切，則此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為      .

 

Answer 1

 

1.解：（1）根據(jù)題意，得C（0,6）.

在Rt△AOC中，，OC＝6，

∴OA＝1.∴A（－1,0）

2.（2）∵，∴OB＝3.  ∴B（3,0）.

由題意，得   解得

∴.

∴D（1,8）.    ……………………………………………………………………2分

可求得直線CD的解析式為.

∴E（－3,0）.

3.（3）假設(shè)存在以點(diǎn)A、C、F、E為頂點(diǎn)的平行四邊形，

則F₁（2,6），F₂（－2,6），F₃（－4,－6）.

經(jīng)驗(yàn)證，只有點(diǎn)（2,6）在拋物線上，

∴F（2,6）

4.（4）如圖，作NQ∥y軸交AM于點(diǎn)Q，設(shè)N（m, ）.

當(dāng)x＝2時(shí)，y＝6，∴M（2,6）.

可求得直線AM的解析式為.

∴Q（m，2m＋2）.

∴NQ＝.

∵，其中，

∴當(dāng)最大時(shí)，值最大.

∵

,

,

.

∴當(dāng)時(shí)，的最大值為.

∴的最大值為.……………………………………………………………………6分

當(dāng)時(shí)，. 

∴N（，）.  

5.（5）P₁（1，），P₂（1，）.  …………………………………………8分

說(shuō)明：寫(xiě)成P₁（1，），P₂（1，）不扣分

解析:略