Question

（7分）如圖中，以為圓心，為半徑作⊙，作交⊙于點(diǎn)B，垂足為點(diǎn)，連接AB交于點(diǎn)D,.

（1）求證：AC是⊙的切線；

（2）若=5，=1，求線段AC的長(zhǎng).

Answer 1

（1）證明略；（2）AC=12.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)已知條件“∠CAD=∠CDA”、對(duì)頂角∠BDO=∠CDA可以推知∠BDO=∠CAD；然后根據(jù)等腰三角形OAB的兩個(gè)底角相等、直角三角形的兩個(gè)銳角互余的性質(zhì)推知，∠B+∠BDO=∠OAB+∠CAD=90°，即∠OAC=90°．所以線段AC是⊙O的切線；

（2）根據(jù)“等角對(duì)等邊”可以推知AC=DC，所以由圖形知OC=OD+CD；然后利用（1）中切線的性質(zhì)可以在Rt△OAC中，根據(jù)勾股定理來求AC的長(zhǎng)度．

試題解析：【解析】
（1）線段AC是⊙O的切線；

理由如下：∵∠CAD=∠CDA（已知），∠BDO=∠CDA（對(duì)頂角相等），

∴∠BDO=∠CAD（等量代換）；

又∵OA=OB（⊙O的半徑），

∴∠B=∠OAB（等邊對(duì)等角）；

∵OB⊥OC（已知），

∴∠B+∠BDO=∠OAB+∠CAD=90°，即∠OAC=90°，

∴線段AC是⊙O的切線；

（2）設(shè)AC=x（x＞0）．

∵∠CAD=∠CDA（已知），

∴DC=AC=x（等角對(duì)等邊）；

∵OA=5，OD=1，

∴OC=OD+DC=1+x；

∵由（1）知，AC是⊙O的切線，

∴在Rt△OAC中，根據(jù)勾股定理得，

OC2=AC2+OA2，即（1+x）2=x2+52，

解得x=12，即AC=12．

考點(diǎn)：1、勾股定理；2、切線的判定和性質(zhì).