Question

己知點P（2，3）是反比例函數(shù)y=圖象上的點．
（1）求過點P且與反比例函數(shù)y=圖象只有一個公共點的直線的解析式；
（2）Q是反比例函數(shù)y=圖象在第三象限這一分支上的動點，過點Q作直線使其與反比例函數(shù)y=圖象只有一個公共點，且與x軸、y軸分別交于C、D兩點，設(shè)（1）中求得的一直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點．
①試判斷AD、BC的位置關(guān)系；
②探索當四邊形ABCD面積最小時，四邊形ABCD的形狀．

Answer 1

（1）解：將P的坐標代入反比例解析式得：3=，即k=6，
則反比例函數(shù)解析式為y=，
顯然直線x=2與直線y=3與反比例函數(shù)圖象只有一個交點，滿足題意；
設(shè)第三條直線解析式為y=ax+b，
∵把P（2，3）代入得：3=2k+b，
即b=3-2k，
∴y=kx+3-2k，
聯(lián)立直線與反比例解析式得：
，
消去y整理得：kx²+（3-2k）x-6=0，
由題意得到方程有兩個相等的實數(shù)根，得到△=（3-2k）²+24k=（2k+3）²=0，
解得：k=-，
故滿足題意的第三條直線為y=-x+6；

（2）①由（1）求出的直線y=-x+6，令x=0，得到y(tǒng)=6；令y=0，得到x=4，
則A（4，0），B（0，6），即OA=4，OB=6，
設(shè)直線CD的解析式為y=mx+n，
則只有一個解，
消去y整理得：mx²+nx-6=0，
△=n²+24m=0，
-=24，
OC•OD=•（-n）=24=OA•OB，即=，
AD∥BC；
②設(shè)OC=t，則OD=，
S_{四邊形ABCD}=S_△BCD+S_△BDA=×（6+）×r+×（6+）×4
=3t++24
=3（-）²+48，
則當-=0，即t=4時，四邊形ABCD面積最小，
此時OA=OC=4，OB=OD=6，又AC⊥BD，
故四邊形ABCD為菱形．
分析：（1）把P的坐標代入即可求出反比例函數(shù)的解析式，得出直線x=2和直線y=3符合題意，設(shè)第三條直線解析式為y=ax+b，把P（2，3）代入得出y=kx+3-2k，聯(lián)立直線與反比例解析式得出方程kx²+（3-2k）x-6=0，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出k，即可求出直線的解析式；
（2））①由（1）求出的直線y=-x+6，求出A和B的坐標，得出OA=4，OB=6，設(shè)直線CD的解析式為y=mx+n，得出方程組，消去y整理后求出-=24，求出OC•OD=OA•OB，得出=，即可得出平行；②設(shè)OC=t，則OD=，根據(jù)S_{四邊形ABCD}=S_△BCD+S_△BDA得出S=3t++24，化成頂點式即可求出t，根據(jù)菱形的判定推出即可．
點評：本題綜合考查了三角形的面積，反比例函數(shù)的解析式，平行線的性質(zhì)和判定，菱形的判定，根的判別式，方程組等知識點，主要考查學生綜合運用性質(zhì)進行計算的能力，本題綜合性比較強，難度偏大，對學生提出較高的要求．