Question

11．如圖，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．
（1）用尺規(guī)作圖作AB邊上的垂直平分線DE，交AC于點D，交AB于點E（保留作圖痕跡，不要求寫作法和證明）；
（2）連接BD，若AD=4，求AC的長度．

Answer 1

分析 （1）分別以A、B為圓心，大于$\frac{1}{2}$AB長為半徑畫弧，兩弧交于兩點，過兩點畫直線，交AB于點E，交BC于點D；
（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質可得AD=BD=4，再根據(jù)等邊對等角可得∠A=∠DBA=30°，然后再計算出∠CBA的度數(shù)，進而可得∠CBD的度數(shù)，再根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得CD=$\frac{1}{2}$AD=2．

解答 解：如圖所示：

（2）∵ED是AB的垂直平分線，
∴AD=BD=4，
∵∠A=30°，
∴∠A=∠DBA=30°，
∵∠A=30°，∠C=90°，
∴∠ABC=60°，
∴∠CBD=60°-30°=30°，
∴CD=$\frac{1}{2}$AD=2，
∴AC=4+2=6．

點評 此題主要考查了線段垂直平分線的作法和性質，以及直角三角形的性質，關鍵是正確掌握垂直平分線的作法，線段垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等．