Question

如圖，在正方形紙片ABCD中，對角線AC、BD交于點O，折疊正方形紙片ABCD，使AD落在BD上，點A恰好與BD上的點F重合，折痕DE分別交AB、AC于點E、G，連接GF．下列結論：
①∠AGD=112.5°；②tan∠AED=2；③△AGD的面積=△OGD的面積；④AE=GF；⑤BE=2OG．
其中正確結論的序號是

1. A.
   ①②③
2. B.
   ①④
3. C.
   ②③⑤
4. D.
   ①④⑤

Answer 1

D
分析：①由四邊形ABCD是正方形，可得∠GAD=∠ADO=45°，又由折疊的性質，可求得∠ADG的度數，然后利用三角形外角的性質，求得∠AGD=112.5°；
②由AE=EF＜BE，可得AD＞2AE，即可得tan∠AED＞2；
③由AG=GF＞OG，可得△AGD的面積＞△OGD的面積；
④由折疊的性質與平行線的性質，易得△EFG是等腰三角形，即可證得AE=GF；
⑤易證得四邊形AEFG是菱形，由等腰直角三角形的性質，即可得BE=2OG．
解答：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠GAD=∠ADO=45°，
由折疊的性質可得：∠ADG=∠ADO=22.5°，
∴∠AGD=180°-∠GAD-∠ADG=112.5°，
故①正確．
∵tan∠AED=，
由折疊的性質可得：AE=EF，∠EFD=∠EAD=90°，
∴AE=EF＜BE，
∴AE＜AB，
∴tan∠AED=＞2，
故②錯誤．
∵∠AOB=90°，
∴AG=FG＞OG，△AGD與△OGD同高，
∴S_△AGD＞S_△OGD，
故③錯誤．
∵∠EFD=∠AOF=90°，
∴EF∥AC，
∴∠FEG=∠AGE，
∵∠AGE=∠FGE，
∴∠FEG=∠FGE，
∴EF=GF，
∵AE=EF，
∴AE=GF，
故④正確．
∵AE=EF=GF，AG=GF，
∴AE=EF=GF=AG，
∴四邊形AEFG是菱形，
∴∠OGF=∠OAB=45°，
∴EF=GF=OG，
∴BE=EF=×OG=2OG．
故⑤正確．
∴其中正確結論的序號是：①④⑤．
點評：此題考查了正方形的性質、折疊的性質、等腰直角三角形的性質以及菱形的判定與性質等知識．此題綜合性較強，難度較大，注意掌握折疊前后圖形的對應關系，注意數形結合思想的應用．