Question

18．如圖，AB是⊙O的直徑，過點B作BM⊥AB，弦CD∥BM，交AB于點F，且DA=DC，連接AC，AD，延長AD交BM于點E．
（1）求證：△ACD是等邊三角形；
（2）若DE=1，求圓O的半徑．

Answer 1

分析 （1）由BM⊥AB，CD∥BM，得到CD⊥AB，而AB是⊙O的直徑，根據(jù)垂徑定理得到$\widehat{AD}$=$\widehat{AC}$，于是得到AD=AC，然后根據(jù)已知DA=DC，得出AD=AC=CD，即可證明△ACD是等邊三角形；
（2）連接OE，過O作ON⊥AD于N，由（1）知，△ACD是等邊三角形，得到∠DAC=60°又直角三角形的性質(zhì)得到BE=$\frac{1}{2}$AE，ON=$\frac{1}{2}$AO，設(shè)⊙O的半徑為r，則ON=$\frac{1}{2}$r，AN=DN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$r，由于得到EN=1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$r，BE=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{\sqrt{3}r+1}{2}$，在Rt△ONE與Rt△BEO中，由勾股定理列方程即可求解．

解答 （1）證明：∵BM⊥AB，CD∥BM，
∴AB⊥CD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{AC}$，
∴AD=AC，
∵DA=DC，
∴AD=AC=CD，
∴△ACD是等邊三角形；

（2）解：連接OE，過O作ON⊥AD于N，由（1）知，△ACD是等邊三角形，
∴∠DAC=60°．
∵AD=AC，CD⊥AB，
∴∠DAB=30°，
∴BE=$\frac{1}{2}$AE，ON=$\frac{1}{2}$AO，
設(shè)⊙O的半徑為r，
∴ON=$\frac{1}{2}$r，AN=DN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$r，
∴EN=1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$r，BE=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{\sqrt{3}r+1}{2}$．
在Rt△ONE與Rt△BEO中，
OE²=ON²+NE²=OB²+BE²，
即（$\frac{1}{2}$r）²+（1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$r）²=r²+（$\frac{\sqrt{3}r+1}{2}$）²，
解得r₁=$\sqrt{3}$，r₂=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（不合題意舍去）．
故圓O的半徑為$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)，垂徑定理，等邊三角形的判定，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，過O作ON⊥AD于N，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．