【題目】如圖1,在正方形ABCD中,P是對角線BD上的一點,點E在AD的延長線上,且PA=PE,PE交CD于F.(1)求證:PC=PE; (2)求CPE的度數(shù);

拓展探究

(3)如圖2,把正方形ABCD改為菱形ABCD,其他條件不變,當(dāng)ABC=120°時,連接CE,試探究線段AP與線段CE的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.

【答案】(1)、證明過程見解析;(2)、90°;(2)、AP=CE,證明過程見解析.

【解析】

試題分析:(1)、根據(jù)正方形得出AB=BC,ABP=CBP=45°,結(jié)合PB=PB得出ABP ≌△CBP,從而得出結(jié)論;(2)、根據(jù)全等得出BAP=BCP,DAP=DCP,根據(jù)PA=PE得出DAP=E,即DCP=E,然后根據(jù)180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E得出答案;(3)、首先證明ABP和CBP全等,然后得出PA=PC,BAP=BCP,然后得出DCP=E,從而得出CPF=EDF=60°,然后得出EPC是等邊三角形,從而得出AP=CE.

試題解析:(1)、在正方形ABCD中,AB=BC,ABP=CBP=45°,

ABP和CBP中,又 PB=PB ∴△ABP ≌△CBP(SAS), PA=PC,PA=PE,PC=PE;

(2)、由(1)知,ABP≌△CBP,∴∠BAP=BCP,∴∠DAP=DCP,

PA=PE, ∴∠DAP=E, ∴∠DCP=E, ∵∠CFP=EFD(對頂角相等),

180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E, CPF=EDF=90°;

(3)、AP=CE

理由是:在正方形ABCD中,AB=BC,ABP=CBP=45°

ABP和CBP中, PB=PB ∴△ABP≌△CBP(SAS), PA=PC,BAP=BCP,

PA=PE,PC=PE,∴∠DAP=DCP, PA=PC ∴∠DAP=E, ∴∠DCP=E

∵∠CFP=EFD(對頂角相等), 180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E,

CPF=EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60° ∴△EPC是等邊三角形,PC=CE,AP=CE

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