Question

1．（1）如圖1，在△ABC中，AB=AC，DB∥AC，點P是BC邊上一點，∠BAC=∠APD=∠BPE；①求證：PB=PE；②求證：△APB≌△DPE．
（2）如圖2，延長EP交AC于點M，連接DM交AB于點Q，求證：△BQD是等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）①由平行線的性質(zhì)得出∠EBP=∠ACB，由已知條件得出∠PEB=∠ABC，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠ABC=∠ACB，因此∠EBP=∠PEB，即可得出結論；
②證出∠EPD=∠BPA，由ASA證明△APB≌△DPE即可；
（2）連接AD，由全等三角形的性質(zhì)得出PA=PD，證出∠PDA=∠ACB=∠ABC，由于DB∥AC，由平行線的性質(zhì)和角的關系得出∠PDA=∠PMC，因此∠PMA+∠PDA=180°，得出四邊形AMPD四點共圓，由圓周角相等得出∠APD=∠AMD=∠BAC，由平行線的性質(zhì)得出∠DBQ=∠BAC，∠BDQ=∠AMD，得出∠BDQ=∠DBQ，即可得出結論．

解答 （1）證明：①∵DB∥AC，
∴∠EBP=∠ACB，
∵∠BAC=∠BPE，
∴∠PEB=∠ABC，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠EBP=∠PEB，
∴PB=PE；
②∵∠APD=∠BPE，
∴∠EPD=∠BPA，
在△APB和△DPE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EPD=∠BPA}\\{PE=PB}\\{∠PEB=∠ABC}\end{array}\right.$，
∴△APB≌△DPE（ASA）；
（2）證明：連接AD，如圖所示：
∵△APB≌△DPE，
∴PA=PD，
∴∠PAD=∠PDA，
∵∠BAC=∠APD，
∴∠PDA=∠ACB=∠ABC，
∵DB∥AC，
∴∠PEB=∠PMC，
∵∠PEB=∠ABC，
∴∠PDA=∠PMC，
∴∠PMA+∠PDA=180°，
∴四邊形AMPD四點共圓，
∴∠APD=∠AMD=∠BAC，
∵DB∥AC，
∴∠DBQ=∠BAC，∠BDQ=∠AMD，
∴∠BDQ=∠DBQ，
∴DQ=BQ，
∴△BQD是等腰三角形．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、四點共圓、圓周角定理等知識；本題綜合性強，有一定難度，特別是（2）中，需要通過證明四點共圓，運用圓周角定理才能得出結論．