Question

解下列方程：
（1）

x2+x+1

x2+1

+

2x2+x+2

x2+x+1

=

19

6

；
（2）

1

x2+11x-8

+

1

x2+2x-8

+

1

x2-13x-8

=0；
（3）（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）=120；
（4）2(x2+

1

x2

)-3(x+

1

x

)=1．

Answer 1

分析：（1）由于

2x2+x+2

x2+x+1

=

(x2+x+1)+(x2+1)

x2+x+1

=1+

x2+1

x2+x+1

，此時(shí)發(fā)現(xiàn)兩個(gè)分式具備倒數(shù)關(guān)系，
設(shè)y=

x2+x+1

x2+1

，則原方程另一個(gè)分式為1+

1

y

，可用換元法轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的分式方程．先求y，再求x．結(jié)果需檢驗(yàn)．
（2）觀察發(fā)現(xiàn)方程左邊三個(gè)分式的分母都是關(guān)于未知數(shù)x的二次三項(xiàng)式，且二次項(xiàng)都是x²，常數(shù)項(xiàng)都是-8，設(shè)y=x²+2x-8，可用換元法轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的分式方程．先求y，再求x．結(jié)果需檢驗(yàn)．
（3）先運(yùn)用乘法交換律與結(jié)合律將（x+1）與（x+4）相乘，（x+2）與（x+3）相乘，再設(shè)x²+5x+4=y，
則原方程化為y²+2y-120=0．用換元法解一元二次方程先求y，再求x．
（4）方程的兩個(gè)分式具備平方關(guān)系，設(shè)x+

1

x

=y，則原方程化為2y²-3y-5=0．用換元法解一元二次方程先求y，再求x．注意檢驗(yàn)．

解答：解：（1）原方程可變形為

x2+x+1

x2+1

+1+

x2+1

x2+x+1

=

19

6

，

x2+x+1

x2+1

+

x2+1

x2+x+1

=

13

6

．
令y=

x2+x+1

x2+1

，則原方程可變?yōu)閥+

1

y

=

13

6

，
解得y₁=

3

2

，y₂=

2

3

．
當(dāng)y₁=

3

2

時(shí)，

x2+x+1

x2+1

=

3

2

，解得x=1；
當(dāng)y₂=

2

3

時(shí)，

x2+x+1

x2+1

=

2

3

，解得x=

-3± 5

2

．
經(jīng)檢驗(yàn)：x=1或

-3± 5

2

都是原方程的解．
故原方程的解為x₁=1，x₂=

-3+ 5

2

，x₃=

3- 5

2

．

（2）設(shè)x²+2x-8=y，則原方程可化為：

1

y+9x

+

1

y

+

1

y-15x

=0，
方程的兩邊同乘y（y+9x）（y-15x），整理得y²-4xy-45x²=0，
解得y=9x或y=-5x．
當(dāng)y=9x時(shí)，x²+2x-8=9x，x²-7x-8=0，解得x₁=8，x₂=-1；
當(dāng)y=-5x時(shí)，x²+2x-8=-5x，x²+7x-8=0，解得x₃=-8，x₄=1．
經(jīng)檢驗(yàn)：x₁=8，x₂=-1，x₃=-8，x₄=1都是原方程的解．
故原方程的解為x₁=8，x₂=-1，x₃=-8，x₄=1．

（3）[（x+1）（x+4）][（x+2）（x+3）]=120，
（x²+5x+4）（x²+5x+6）=120，
設(shè)x²+5x+4=y，則y（y+2）=120，
∴y²+2y-120=0，
解得y=10或y=-12．
當(dāng)y=10時(shí)，x²+5x+4=10，x²+5x-6=0，解得x₁=-6，x₂=1；
當(dāng)y=-12時(shí)，x²+5x+4=-12，x²+5x+16=0，△=25-64=-39＜0，故此方程無實(shí)根．
故原方程的解為x₁=-6，x₂=1．

（4）將原方程變形，得2（x+

1

x

）²-4-3（x+

1

x

）=1，
整理，得2（x+

1

x

）²-3（x+

1

x

）-5=0．
設(shè)x+

1

x

=y，則原方程可化為：2y²-3y-5=0，
解得：y₁=

5

2

，y₂=-1．
當(dāng)y₁=

5

2

時(shí)，x+

1

x

=

5

2

，解得：x₁=

1

2

，x₂=2；
當(dāng)y₂=-1時(shí)，x+

1

x

=-1，即x²+x+1=0，△=1-4=-3＜0，故此方程無實(shí)根．
經(jīng)檢驗(yàn)：x₁=

1

2

，x₂=2都是原方程的解．
故原方程的解為x₁=

1

2

，x₂=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了用換元法解方程．換元法是解方程的常用方法之一，它能夠把方程化繁為簡，化難為易，對(duì)此應(yīng)注意總結(jié)能用換元法解的方程的特點(diǎn)，尋找解題技巧．特別注意解分式方程一定要代入最簡公分母驗(yàn)根．